DIFFRACTION ET INTERFERENCES Un laser de longueur d’onde $\lambda$ éclaire une fente de largeur $a = 85 \mu m$, dans l’air. On observe une figure sur l’écran placé à $2,5m$. La tâche centrale de la figure de diffraction est mesurée expérimentalement $L = 3,7 cm$. 1. Définir le phénomène de la figure 1, ainsi que ses conditions d’observation. 2. Définir l’écart angulaire en fonction de $\lambda$ et $a$ ; puis en fonction de $L$ et $D$. 3. Calculer la longueur d’onde. De quelle couleur est le laser utilisé ? 4. Comment évoluerait la figure de diffraction : Si la fente de largeur $a$ diminue ? Si on rapproche l’écran de la source ? Si on utilise un laser bleu de longueur d’onde $\lambda = 450 nm$ ? 5. Quelles sont les conditions d’observations du phénomène d’interférences ? Une lumière monochromatique de longueur d’onde $\lambda_0$ éclaire, dans l’air, deux fentes étroites séparées par une distance $b = 0,10 mm$. L’interfrange est donné par la relation :$$i=\dfrac{\lambda D}{b}$$ On mesure expérimentalement $i = 1,95 cm$ 6. Calculer la longueur d’onde $\lambda_0$ 7. On s’intéresse à un premier point $P_1$ sur l’écran placé à 3,9 cm du point O. Où se trouve ce point ? Placez-le sur le schéma. 8. Mêmes questions pour le point $P_2$ placé à - 3,0 cm. CORRECTION 1. Définir le phénomène de la figure 1, ainsi que ses conditions d’observation. Le phénomène de diffraction se produit lorsqu’une onde rencontre une ouverture ou un obstacle dont la taille est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde de cette onde. C’est un changement de direction de propagation de ce l’onde. 2. Définir l’écart angulaire en fonction de $\lambda$ et $a$ ; puis en fonction de $L$ et $D$. Le sinus de l’angle caractéristique se définit comme $$\sin{\theta}=\dfrac{\lambda}{a}$$ Avec $\lambda$ la longueur d’onde et $a$ la largeur de la fente, les deux exprimées en m. Comme nous sommes dans un cas où l’angle est très petit, on peut faire l’approximation mathématique $\sin{\theta} =\theta$. L’écart angulaire $\theta$ s’exprime en radian (rad). Il faut utiliser la trigonométrie en déterminant la tangente de l’angle $\theta$ : $$\tan{\theta}=\dfrac{\text{coté opposé}}{\text{coté adjacent}}$$. Dans le triangle OPQ rectangle en O, on a ainsi : $$\tan{\theta}=\dfrac{OP}{OQ}=\dfrac{L}{2D}$$ On peut faire la même approximation que précédemment car nous sommes toujours dans le cas d’angles très petit : $$\tan{\theta}=\theta$$ Ainsi : $$\theta=\dfrac{L}{2D}=\dfrac{\lambda}{a}$$ 3. Calculer la longueur d’onde. De quelle couleur est le laser utilisé ? A la question précédente, on a déterminé que : $$\theta=\dfrac{L}{2D}=\dfrac{\lambda}{a}$$ On peut donc définir la longueur d’onde : $$\lambda=\dfrac{L a}{2D}$$ Application numérique : $$\lambda=\dfrac{3,7 \cdot 10^{-2} \cdot 8,5 \cdot 10^{-5}}{2 \cdot 2,5}=6,29 \cdot 10^{-7} m = 629 nm$$ Cette valeur est de l’ordre des longueurs d’onde du visible dans le rouge, c’est donc un laser rouge. 4. Comment évoluerait la figure de diffraction : Si la fente de largeur $a$ diminue ? Si on diminue la taille de la fente $a$, l’angle $\theta$ va augmenter et ainsi la largeur de la tâche centrale augmente. Si on rapproche l’écran de la source ? Si on augmente $D$ la distance entre la source et l’écran, l’angle $\theta$ va diminuer, donc la largeur de la tâche centrale diminue. Si on utilise un laser bleu de longueur d’onde $\lambda = 450 nm$ ? Un laser bleu a une longueur d’onde inférieure à celle d’un laser rouge, ($450 nm < 635 nm$), si on diminue la longueur d’onde alors l’angle $\theta$ va aussi diminuer et la tâche centrale va diminuer. 5. Quelles sont les conditions d’observations du phénomène d’interférences ? Pour observer le phénomène d’interférences entre deux ondes, il faut que ces ondes aient la même fréquence et un déphasage constant. 6. Calculer la longueur d’onde $\lambda_0$ On peut réécrire l’équation : $$ \lambda=\dfrac{ib}{D}$$ Application numérique : $$ \lambda=\dfrac{1,95 \cdot 10^{-2} \cdot 0,10 \cdot 10^{-3}}{3}= 6,5 \cdot 10^{-7} m = 650 nm$$ 7. On s’intéresse à un premier point $P_1$ sur l’écran placé à 3,9 cm du point O. Où se trouve ce point ? Placez-le sur le schéma. Il faut dans un premier temps calculer la différence de chemin optique de ce point : $$\Delta L_k=\dfrac{x_k b}{D}$$ Avec $x_k$ l’abscisse du point $P_k$, $b$ la distance entre les deux fentes et $D$ la distance entre les sources et l’écran. Application numérique : $$\Delta L_1=\dfrac{3,9 \cdot 10^{-2} \cdot 0,10 \cdot 10^{-3}}{3,00} = 1,3 \cdot 10^{-6} m$$ Il faut maintenant chercher un coefficient de proportion entre cette différence de chemin optique que la longueur d’onde trouvée à la question précédente : $$\dfrac{\Delta L_1}{\lambda}=\dfrac{1,3 \cdot 10^{-6}}{6,5 \cdot 10^{-7}}=2 $$ On trouve bien un coefficient de proportionnalité $k$ qui est un entier relatif. On peut écrire $ \Delta L_1 = k \cdot λ$ avec $k = 2$. Alors les interférences sont constructives et on observe des franges brillantes. Pour placer le point, on sait maintenant qu’il est sur une frange brillante, la deuxième en parant du point O au milieu de la tâche centrale. 8. Mêmes questions pour le point $P_2$ placé à - 3,0 cm. $$\Delta L_2=\dfrac{-3,0 \cdot 10^{-2} \cdot 0,10 \cdot 10^{-3}}{3,00}=-1 \cdot 10^{-6} m$$ $$\dfrac{\Delta L_2}{\lambda}=\dfrac{-1\cdot 10^{-6}}{6,5\cdot 10^{-7}}=-1,5$$ Nous trouvons ici aussi un coefficient de proportionnalité $k+\dfrac{1}{2}$ qui est un entier relatif. Nous pouvons donc écrire : $$ \Delta L_1=k + \dfrac{1}{2} \cdot \lambda$$ Avec $k=-2$ Alors les interférences sont destructives et on observe des franges sombres. Ce point est du côté négatif sur l’axe des x, en partant du point O il est placé à la deuxième frange sombre car $k = -2$.