ONDES ET SIGNAUX Rappels Onde mécanique progressive périodique Onde dont la source émet une perturbation périodique (c'est à dire qui se produit à intervalles de temps réguliers) dans un milieu. Sa vitesse (qu’on appelle célérité) dépend de ce milieu. Il y a transport d’énergie mais pas de matière. Retard $\tau$ de l’onde Durée séparant deux points de la propagation de l’onde. Célérité Vitesse de propagation de l’onde mécanique. (On parle de célérité d’une onde mécanique et non d’une vitesse, car c’est un transport d’énergie mais pas de matière). Calcul de la célérité d’une onde $$c=\dfrac{M_1 M_2}{\tau}$$ $M_1$ est le point de l’onde au temps $t_1$ et $M_2$ le point au temps $t_2$ (voir figure 1). Figure 1 - Propagation d'une onde : élongation en fonction du temps. Une onde sinusoïdale dont la périodicité est temporelle et spatiale est caractérisée par sa longueur d’onde $\lambda$ (période spatiale) qui est la distance parcourue pendant une durée régulière, ainsi que par $T$, sa période temporelle, qui représente la durée séparant deux points successifs de même perturbation de l’onde: $$c=\dfrac{\lambda}{T}$$ La fréquence fondamentale est le nombre de répétition de l’onde par seconde, soit l’inverse de la période temporelle : $f=\dfrac{1}{T}$ Caractériser les phénomènes ondulatoires Le son (ou onde sonore) est une onde mécanique progressive périodique. L’intensité sonore I représente la puissance de l’énergie transportée par unité de surface. Elle s’exprime en $W \cdot m^{-2}$ : $$I=\dfrac{P}{S}$$ Avec $P$ : puissance de l’onde (en Watt) et $S$ : surface (en $m^2$). L’intensité sonore de référence $I_0=10^{-12}W\cdot m^{-2}$ correspond au seuil d’audibilité à 1kHz. Le niveau d’intensité sonore $L=10 \log{\dfrac{I}{I_0}}$ s’exprime en décibel (dB), avec $I$ et $I_0$ en $W\cdot m^{-2}$. L’atténuation A s’exprime en dB : Géométrique : lors de la propagation d’une onde sonore, son niveau d’intensité sonore diminue au fur et à mesure qu’elle s’éloigne de sa source. $$A=L_{proche}-L_{éloignée}$$ Par absorption : lors de sa propagation, l’onde sonore peut interagir avec des matériaux, on l’appelle onde incidente. Son interaction va avoir trois phénomènes en conséquence : une partie de l’onde peut être réfléchie, une autre absorbée et enfin une transmise. $$A=L_{incidente}-L_{transmise}$$ Effet Doppler Se produit lorsqu’un émetteur d’onde est en mouvement par rapport à son récepteur. Cela a pour conséquence un décalage entre la fréquence émise de l’onde $f_e$ et sa fréquence reçue $f_r$. Ce décalage est appelé décalage Doppler : $$\Delta f = f_r-f_e$$ Rappel La célérité d’une onde : $c=\lambda f$ et $f=\dfrac{1}{T}$. Rapprochement de l’émetteur : $\lambda$ reçue diminue par rapport à celle émise, donc la fréquence augmente, $f_r>f_e$ alors $\Delta f>0$. Le son est plus aigu. Distance constante entre l’émetteur et le récepteur : pas de changement de longueur d’onde ni de fréquence, la fréquence reçue est la même que celle émise donc $\Delta f = 0$ Éloignement de l’émetteur : $\lambda$ reçue augmente par rapport à celle émise, donc la fréquence diminue $f_r < f_e$ alors $\Delta f < 0$. Le son est plus grave. Diffraction d'une onde par une ouverture Le phénomène de diffraction se produit lorsqu’une onde rencontre une ouverture ou un obstacle dont la taille est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde de cette onde. C’est un changement de direction de propagation de l’onde. Phénomène possible pour les ondes mécaniques (vagues) et électromagnétiques (lumière visible qui est 400 nm < $\lambda$ < 800 nm). Exemple du laser : lumière monochromatique (une seule longueur d’onde), directive (se propage dans une seule direction) et cohérente (ondes émises en phase). Interférence de deux ondes Dans le cas d’une ouverture rectangulaire de largeur a (en m), le sinus de l’angle caractéristique de diffraction $\theta$ (aussi appelé écart angulaire) : $$\sin{\theta}=\dfrac{\lambda}{a}$$ Avec $\lambda$ exprimée en $m$. Si $\dfrac{\lambda}{a}$ est très petit, on peut faire l'approximation mathématique $\sin{\theta}=\theta$. L’écart angulaire $\theta$ s’exprime en radians (rad). Grâce à de la trigonométrie, on peut dire que $\tan{\theta}=\dfrac{L}{2D}$. On peut faire la même approximation si l’angle est très petit : $\tan{\theta}=\theta$, ainsi : $$\theta=\dfrac{L}{2D}=\dfrac{\lambda}{a}$$ Dans le cas d’une ouverture circulaire de diamètre d : $$\theta=1,22 \dfrac{\lambda}{d}$$ Figure 2 - Diffraction d’une onde à travers une ouverture de largeur a. Interférences de deux ondes Conditions : superpositions d’ondes cohérentes, c’est-à-dire avec la même fréquence et un déphasage constant. Elles doivent être émises par des sources ponctuelles qui vibrent en phase. Interférences constructives : point où les ondes sont en phase, elles ont donc la même élongation (maximale ou minimale). C’est un point à forte amplitude (fortes perturbations). $$d_2-d_1=k \lambda$$ Avec $k$, un entier relatif. Figure 3 - Interférences constructives Interférences destructives : point où les ondes sont en opposition de phase, l’une d’élongation maximale, l’autre minimale. C’est un point où l’amplitude est nulle, car les amplitudes de chaque onde s’annulent (faibles perturbations) $$ d_2-d_1=\dfrac{1}{2} k \lambda$$ Avec $k$, un entier relatif. Figure 4 - Interférences destructives Interférences de deux ondes lumineuses Différence de chemin optique Deux sources différentes, $S_1$ et $S_2$ émettent des ondes. Elles vont chacune mettre une certaine distance à atteindre le même point P sur l’écran. Celle émise à la source $S_2$ a un chemin plus long que celle émise par $S_1$. La différence entre ces deux trajets est $S_2H = S_2P - S_1P$. On définit la différence de chemin optique $ \Delta L = n (S_2P – S_1P)$ avec $n$ l’indice du milieu de propagation (ex : $n_{air} = 1$, $n_{eau} = 1,33$). Figure 5 - Différence de chemin optique pour des ondes émises par deux sources différentes Exemple des fentes d'Young Observation d’une figure de diffraction : alternance de franges brillantes et sombres. Différence de chemin optique $\Delta L$ : Si $\Delta L = k \lambda$ avec $k$ un entier relatif, alors les interférences sont constructives et on observe des franges brillantes. Si $\Delta L =\dfrac{1}{2} k \lambda $ avec $k$ un entier relatif, alors les interférences sont destructives et on observe des franges sombres. Interfrange i : Distance qui sépare deux franges (lumineuses ou sombres) identiques et successives. $$i=x_{k+1}-x_k=\dfrac{\lambda D}{a}$$ Figure 6 - Mesure de l'interfrange Former des images, décrire la lumière par un flux de photons Modèle optique d'une lunette astronomique Figure 7 - Principe de fonctionnement d'une lentille mince convergente Rappel: Relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\bar{OA’}}-\dfrac{1}{\bar{OA}}$ La lunette astronomique sert à observer des objets lointains. Elle est constituée d’un objectif situé du côté de l’objet observé et d’un oculaire situé du côté de l’œil de l’observateur. L’objectif et l’oculaire sont modélisés par deux lentilles minces convergentes par rapport au même axe optique. Le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire, cela signifie que la lunette se comporte comme un instrument qui n’a pas de foyer, on dit qu’elle est afocale. Figure 8 - Modélisation d'une lunette astronomique Grossissement d'une lunette afocale Figure 9 - Fonctionnement d'une lunette afocale $$G=\dfrac{\theta’}{\theta}$$ Sans unité avec : $\theta$ : diamètre apparent de l’objet AB vu à l’oeil nu. $\theta’$ : diamètre apparent de l’image A’B’ vue à travers la lunette. Ces deux angles sont exprimés en radians. $$G=\dfrac{f’_1 }{f’_2 }$$ avec $f’_1$ : distance focale de l’objectif et $f’_2$ : distance focale de l’oculaire. La lunette afocale est caractérisée par : Le diamètre de son objectif (en mm) La distance focale de son objectif (en mm) La lumière: un flux de photons Le modèle particulaire représente la lumière comme un flux de photons (et non plus comme une onde), ce qui permet d’expliquer l’effet photoélectrique. Effet photoélectrique : éjection d’électrons d’un métal sous l’effet de la lumière. Cet effet ne se produit que lorsque les photons des radiations lumineuses ont suffisamment d’énergie pour arracher les électrons du métal. L’effet est quasi instantané. Le photon est une particule de masse nulle et de célérité $c = 3,00 \cdot 10^8 m \cdot s^{-1}$. $$E_{photon}=h \nu = \dfrac{hc}{\lambda}$$ Avec $h$ : constante de Planck ($J\cdot s^{-1}$) et $\nu$: fréquence de la lumière (Hz) Pour un métal donné, l’effet photoélectrique se produit à partir d’une fréquence seuil $\nu_{seuil}$. Si l’électron arraché est un électron libre proche de la surface du métal, on va définir son énergie : $$E_{photon}=W_{extraction}+E_{c,max}$$ Donc : $$h \nu_{photon}=W_{extraction}+\dfrac{1}{2} m_e v_{max}^2 $$ Le travail d’extraction $ W_{extraction}$ est l’énergie nécessaire pour arracher un électron libre à la surface d’un métal. L’énergie en surplus est transformée par l’électron arraché en énergie cinétique. Absorption/Émission de photons Absorption : Une cellule photoélectrique désigne tout système dont les propriétés électriques peuvent être modifiées par l’absorption de photons. Une cellule photovoltaïque convertit l’énergie lumineuse qu’elle reçoit en énergie électrique. Son rendement est : $$\eta=\dfrac{P_{élec}}{P_{lum}}=\dfrac{E_{élec}}{E_{lum}}$$ avec: $ P_{élec}$ (ou $ E_{élec}$) = puissance (ou énergie) exploitable. $ P_{lum}$ (ou $ E_{lum}$) = puissance (ou énergie) reçue. Émission : Les diodes électroluminescentes (DEL) réalisent la réaction inverse : parcourues par un courant électrique, elles émettent des photons. La fréquence de cette lumière émise dépend du matériau semi-conducteur dont une DEL est constituée. Étudier la dynamique d'un système électrique Rappels Intensité électrique L’intensité d’un courant électrique $I$ (en Ampère) qualifie la quantité de charge électrique $Q$ (en Coulomb) qui traverse une section d’un conducteur par unité de temps. $\Delta t$ (en seconde) : $$I=\dfrac{Q}{\Delta t} $$ Loi d’Ohm : Relie la tension, l’intensité et la résistance d’un circuit électrique : $$U_{AB}=IR$$ Avec : $U_{AB}$ la tension aux bornes du conducteur ohmique s’exprime en Volt $I$ l’intensité du courant électrique s’exprime en Ampère (A) $R$ la résistance du conducteur ohmique s’exprime en Ohm ($\Omega$) Loi des mailles Dans une maille d’un réseau, la somme des tensions intermédiaires le long de la maille est constamment nulle : $$U_{AB}+ U_{BC} + U_{CD} + U_{DA} = 0$$ Intensité électrique Quel que soit le régime (permanent ou variable), l’intensité du courant électrique est un débit de charge électrique. En régime variable, qui dépend du temps, contrairement au régime permanent l’intensité varie. Elle va se définir comme la dérivée de la charge électrique $dq$ par rapport au temps $t$ : $$i=\dfrac{dq}{dt}$$ Le condensateur est composé de deux bornes conductrices, appelées armatures, séparées par un matériau isolant dit diélectrique. Lorsqu’il est traversé par un courant électrique il va accumuler des charges de signes opposés sur chacune de ses armatures. Ce phénomène d’accumulation de charges s’appelle comportement capacitif. Ces charges s’attirent ce qui va créer un champ électrique entre elles. Mais elles ne peuvent pas traverser le condensateur à cause du matériau isolant qui les sépare. Le condensateur est caractérisé par sa capacité $C$ qui s’exprime en Farad ($F$). Elle représente son aptitude à stocker ces charges sur ses bornes. La charge d’un condensateur est proportionnelle à la tension entre ses deux armatures : $$q = C U_{AB}$$ avec: $q$, la charge du condensateur d’une des armatures à tout instant $t$ ($C$) $C$ la capacité du condensateur ($F$) $U_{AB}$ la tension entre les deux armatures ($V$) L’intensité du courant électrique s’exprime donc : $$i=\dfrac{dq}{dt}=\dfrac{dC}{dt}U_{AB}+C\dfrac{dU_{AB}}{dt} $$ Or $C$ est une constante donc : $$\dfrac{dC}{dt}U_{AB}$$ D’où : $$i=C \dfrac{dU_{AB}}{dt}$$ Modèle du RC en série Un dipôle RC résulte de l’association en série d’un conducteur ohmique de résistance $R$ et d’un condensateur de capacité $C$. Charge d’un condensateur : D’après la loi des mailles : $$U_{AB} + U_R - E = 0$$ Donc : $$E = U_{AB} + U_R $$ D’après la loi d’Ohm : $$U_R = R i $$ Or : $$i = C \dfrac{dU_{AB}}{dt} $$ Donc : $$E = U_{AB} +R C \dfrac{dU_{AB}}{dt} $$ Ce qui peut également s’écrire : $$\dfrac{dU_{AB}}{dt}= - \dfrac{1}{RC} U_{AB}+\dfrac{E}{RC}$$ On retrouve l’expression d’une équation différentielle de premier ordre : $y’ = ay + b$ dont la solution est: $$y(x) = K e^{ax} -\dfrac{b}{a} $$ Avec $K$, une constante réelle. Nous sommes dans le cas où la variable $x$ représente le temps, donc: $$U_{AB}=K e^{-\frac{t}{RC}}+E$$ Pour déterminer $K$ nous devons nous placer dans les conditions initiales : le condensateur est déchargé d’où $U_{AB} = 0 V$. $$K e^{-\frac{0}{RC}}+E=0$$ à l’instant $t = 0s$, or $e^0= 1$ donc $K = - E$ La solution générale de l’équation est : $$U_{AB} = E (1 – e^{-\frac{t}{RC}})$$ Décharge d’un condensateur : D’après la loi des mailles : $U_{AB} + U_R = 0 $; D’après la loi d’Ohm : $U_R= R i$ Or $$i=C \dfrac{dU_{AB}}{dt}$$ Donc : $$U_{AB}+RC \dfrac{dU_{AB}}{dt}=0$$ Ce qui peut également s’écrire : $$ \dfrac{dU_{AB}}{dt}=-\dfrac{1}{RC} U_{AB}$$ On retrouve l’expression d’une équation différentielle de premier ordre : $y’ = ay + b$ dont la solution est : $$y(x) = K e^{ax} –\dfrac{b}{a} $$ avec $K$ une constante réelle. Nous sommes dans le cas où la variable $x$ représente le temps, donc : $$ U_{AB}= K e^{-\frac{t}{RC}} $$ Pour déterminer $K$ nous devons nous placer dans les conditions initiales : le condensateur est chargé d’où $U_{AB} = E$. $$K e^{-\frac{0}{RC}}=E $$ à l’instant $t = 0s$, or $e^0= 1$ donc $K = E$ La solution générale de l’équation est : $$U_{AB} = E e^{-\frac{t}{RC}}$$ La durée de la charge ou la décharge d’un dipôle RC est déterminée par une constante de temps appelée temps caractéristique $\tau$ qui s’exprime en fonction de la résistance ($\Omega$) et de la capacité ($F$) : $$\tau=RC$$ Il peut se déterminer graphiquement (voir figure 10). Figure 10 - Charge d'un condensateur