Matières

UNE PLONGEE TECHNIQUE

La stabilité est de rigueur : Au cours d’une plongée, un plongeur cherche à se stabiliser afin de rester à une profondeur constante. Pour cela, il dispose d’un gilet de stabilisation et d’un ordinateur de plongée.

Données :

• On considère que la relation de Bernoulli peut s’appliquer le long d’une ligne de courant d’un fluide incompressible en écoulement permanent indépendant du temps. Elle s’écrit : $$\dfrac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z = \text{constante}$$
• Masse volumique de l’eau en mer Méditerranée : $\rho_{\text{eau salée}} = 1,03 \cdot 10^3 kg \cdot m^{-3} $
• Intensité de la pesanteur : $g = 9,8 N \cdot kg^{-1} $
• Pression atmosphérique : $P_{atm} = 1,013 \cdot 10^5 Pa $
• $1 bar = 1 \cdot 10^5 Pa $
• Masse du plongeur équipé $m = 92 kg$

Première partie : Le gilet de stabilisation.

Le gilet de stabilisation est un dispositif dont on peut faire varier le volume en injectant ou en évacuant de l’air. La valeur de la poussée d’Archimède exercée par l’eau est alors modifiée, de façon à ce qu’elle compense exactement le poids du plongeur équipé.
L’air injecté provient de la bouteille d’air comprimé qui fait partie de l’équipement du plongeur ; cette injection d’air n’a donc aucune incidence sur la masse m du système (plongeur équipé).
Lors de l’évacuation de l’air, on considère que la masse d’air expulsé est négligeable devant celle du système. Le plongeur équipé, situé à une profondeur de 20 m en Méditerranée occupe un volume $V = 0,088 m^3$. On suppose qu’il ne fait aucun geste.

1. Calculer la valeur de la poussée d’Archimède exercée par l’eau sur le plongeur.

2. Qu’arrive-t-il au plongeur équipé à la profondeur de 20 m s’il n’agit pas sur le gilet stabilisateur ?

3. Pour répondre à la question 2, il suffit de comparer les masses volumiques du plongeur équipé et de l’eau salée. Justifier cette affirmation.

4. Quel volume d’air le plongeur doit-il injecter dans son gilet ou évacuer afin d’être stabilisé ?

Deuxième partie : Les courants sous-marins et les ordinateurs de plongée.

Le plongeur « équipé » entre dans une cavité modélisable par un cylindre de diamètre $d_1 = 6,0m$, dans la-quelle l’eau se déplace à une vitesse de valeur $v_1 = 0,30 m \cdot s^{-1}$. La cavité est prolongée par un passage également cylindrique de diamètre $d_2 = 3,0 m$.
On suppose que le volume du plongeur est négligeable devant celui de la cavité. L’eau est considérée comme un fluide incompressible qui s’écoule en régime permanent indépendant du temps.

1. Quelle est la valeur de la vitesse de l’eau $v_2$ dans le passage de diamètre $d_2$ ?

2. Calculer la différence de pression $\Delta P=P_2-P_1$ entre les deux passages cylindriques de la cavité.

3. L’ordinateur de plongée indique notamment la profondeur à laquelle se trouve le plongeur. Il la calcule en fonction de la pression locale qu’il mesure, en appliquant la relation fondamentale de la statique des fluides selon laquelle la pression dans l’eau augmente de 1 bar lorsque la profondeur augmente de 10 m.

CORRECTION

Première partie : Le gilet de stabilisation.

1. Calculer la valeur de la poussée d’Archimède exercée par l’eau sur le plongeur.

La valeur de la poussée d’Archimède est définie par : $$F_p=\rho_{fluide}V_{im}g$$ Avec : $\rho_{fluide}$ la masse volumique du fluide ($kg \cdot m^{-3}$), $V_{im}$ le volume immergé du corps ($m^3$), $\vec{g}$ l’intensité de la pesanteur ($N \cdot kg^{-1}$).
On nous donne $V = 0,088 m^3$, $\rho_{\text{eau salée}} = 1,03 \cdot 10^3 kg \cdot m^{-3}$, $g = 9,8 N \cdot kg^{-1}$.

Application numérique : $$F_p = 1,03 \cdot 10^3 \cdot 0,088 \cdot 9,8 = 8,9 x10^2 N$$

2. Qu’arrive-t-il au plongeur équipé à la profondeur de 20 m s’il n’agit pas sur le gilet stabilisateur ?

Le plongeur situé à 20 m de profondeur est soumis à deux forces : son poids mais aussi la poussée d’Archimède.
La valeur de son poids est définie par : $$P = mg = 92 \cdot 9,8 = 9,0 \cdot 10^2 N$$ Il est dirigé à la verticale vers le bas.
La poussée d’Archimède est dirigée à la verticale vers le haut. Nous avons déterminé sa valeur dans la question précédente : $$F_p = 8,9 \cdot 10^2 N$$ Ces deux forces sont dirigées dans la même direction mais ont des sens opposés.
La somme des forces est : $$\Sigma \vec{F}=\vec{F_p}+\vec{P}$$ Or : $$P > F_p$$ Le poids l’emporte sur la poussée d’Archimède, ainsi le plongeur sera attiré vers le bas.

3. Pour répondre à la question 2, il suffit de comparer les masses volumiques du plongeur équipé et de l’eau salée. Justifier cette affirmation.

A partir de ce que l’on a déterminé à la question précédente, on peut le généraliser car le plongeur est immobile :

• Si, comme dans le cas étudié, $P > F_p $ alors le plongeur va vers le bas.
• Si, $P = F_p $ alors le plongeur est en équilibre.
• Si, $P < F_p$ alors le plongeur va vers le haut.

Le poids peut être défini en fonction de la masse volumique du plongeur car sa masse m est égale au produit de son volume et de sa masse volumique : $$m = \rho V $$ Ainsi : $$P = \rho_{plongeur} V g$$ Et la poussée d’Archimède est définie en fonction de la masse volumique de l’eau de mer : $$F_p = \rho_{\text{eau salée}} V g$$ En comparant les deux on remarque que seulement la masse volumique du plongeur et celle de la mer différencient les deux. Ainsi on peut répondre à la question 2 en comparer les masses volumiques plutôt que les va-leurs des forces avec les mêmes conclusions :

• Si, comme dans le cas étudié, $\rho_{\text{plongeur}} > \rho_{\text{eau salée}}$ alors le plongeur va vers le bas.
• Si, $\rho_{\text{plongeur}} = \rho_{\text{eau salée}}$ alors le plongeur est en équilibre.
• Si, $\rho_{\text{plongeur}} < \rho_{\text{eau salée}}$ alors le plongeur va vers le haut.

4. Quel volume d’air le plongeur doit-il injecter dans son gilet ou évacuer afin d’être stabilisé ?

On a vu que le plongeur est stabilisé lorsque $\rho_{\text{plongeur}} = \rho_{\text{eau salée}}$. Or dans notre cas la masse volumique du plongeur est supérieure à celle de la mer, il faut donc la diminuer.
On va chercher à écrire la masse volumique du plongeur en fonction du volume de l’air : $$\rho_{plongeur}=\dfrac{m_p}{V_{tot}}$$ Avec $V_{tot}$ le volume total du plongeur, c’est-à-dire le volume du plongeur et le volume de l’air : $$V_{tot} = V_{plongeur}+ V_{air}$$ D’où : $$\rho_{\text{plongeur}}=\rho_{\text{eau salée}}=\dfrac{m_p}{V_{tot}}=\dfrac{m_p}{V_{\text{plongeur}}+V_{\text{air}}}$$ On va maintenant pouvoir isoler le volume de l’air : $$V_{air}=\dfrac{m_p}{\rho_{\text{eau salée}}}-V_{\text{plongeur}}$$
Application numérique : $$V_{air}=\dfrac{92}{1,03 \cdot 10^3}-0,088=0,001 m^3=1L$$ Le plongeur devra donc injecter 1L d’air dans son gilet pour se stabiliser.

Deuxième partie : Les courants sous-marins et les ordinateurs de plongée.

1. Quelle est la valeur de la vitesse de l’eau $v_2$ dans le passage de diamètre $d_2$ ?

Le débit volumique s’exprime par : $$D = S v$$ Ici on voit l’effet Venturi : On peut appliquer la relation de Bernoulli à l’écoulement d’un fluide incompressible dans un tube dont la section se resserre ou s’évase. Ici la section S diminue. Comme le débit volumique est conservé la vitesse devrait augmenter pour compenser.
On a: $$D_1=D_2$$ Donc : $$S_1 v_1=s_2 v_2$$

Rappel

D’où : $$S_1=\dfrac{\pi}{4}d_1^2 $$ Et : $$S_2=\dfrac{\pi}{4}d_2^2 $$ Ainsi : $$\dfrac{\pi}{4} d_1^2 v_1 = \dfrac{\pi}{4} d_2^2 v_2 $$ On peut maintenant isoler la vitesse : $$v_2=\dfrac{d_1^2 v_1}{d_2^2}$$
Application numérique : $$v_2=\left(\dfrac{6}{3}\right)^2 \cdot 0,3 = 1,2 m \cdot s^{-1}$$ La vitesse de l’eau dans le passage de diamètre $d_2$ est $1,2 m \cdot s^{-1}$.

2. Calculer la différence de pression $\Delta P=P_2-P_1$ entre les deux passages cylindriques de la cavité.

$$\dfrac{1}{2} \rho_{\text{eau salée}} v_ 1^2 + \rho_{\text{eau salée}} g z_1 + P_1 =\dfrac{1}{2} \rho_{\text{eau salée}} v_ 2^2 + \rho_{\text{eau salée}} g z_2 + P_2 $$ Or ici $z_1=z_2$, après simplification on retrouve : $$\dfrac{1}{2} \rho_{\text{eau salée}} v_ 1^2 +P_1=\dfrac{1}{2} \rho_{\text{eau salée}} v_ 2^2 +P_2$$ Ainsi : $$P_2-P_1=\dfrac{1}{2} \rho_{\text{eau salée}} v_ 1^2-\dfrac{1}{2} \rho_{\text{eau salée}} v_ 2^2=\dfrac{1}{2} \rho_{\text{eau salée}} (v_ 1^2-v_2^2)$$
Application numérique : $$ P_2 – P_1 = \dfrac{1}{2} 1,03 \cdot 10^3 (0,3^2 – 1,2^2) = - 7,0 \cdot10^2 Pa $$ La différence de pression entre les deux cavités est : $$7,0 \cdot10^2 Pa$$

3. L’ordinateur de plongée indique notamment la profondeur à laquelle se trouve le plongeur. Il la calcule en fonction de la pression locale qu’il mesure, en appliquant la relation fondamentale de la statique des fluides selon laquelle la pression dans l’eau augmente de 1 bar lorsque la profondeur augmente de 10 m.

A la question précédente on a déterminé la différence de pression subie par le plongeur lorsqu’il entre de la cavité.
Il suffit ensuite de faire un produit en croix en utilisant les données de l’énoncé : la pression dans l’eau augmente de 1 bar lorsque la profondeur augmente de 10 m. Or 1 bar correspond à $10^5 Pa$.
On a donc $10^5 Pa$ pour + 10 m, on peut donc calculer $\Delta z$ pour 700 Pa : $$\Delta z = \dfrac{700 \cdot 10}{10^5}=7 \cdot 10^{-2}m=7cm$$
La différence de 700 Pa notée par l’ordinateur lorsque le plongeur entre dans la cavité, va indiquer une différence de profondeur de 7cm, alors que le plongeur se déplace horizontalement.

* Source : exercice 27 page 294 Educahoc.