ÉTUDIER LA DYNAMIQUE D’UN SYSTÈME ÉLECTRIQUE Le montage étudié et les caractéristiques du condensateur sont représentés en figures 1 et 2. La capacité du condensateur est $C = 0,47 \mu F$ et l’ordre de grandeur de la résistance $r$ est de $10 \Omega$ de telle sorte que le condensateur se charge très rapidement et complètement lorsque l’interrupteur est en position 1. Dès que la charge est terminée, l’interrupteur bascule automatiquement en position 2. Le condensateur se décharge lentement dans la résistance $R$ de valeur nettement supérieure à $r$, jusqu’à ce que la tension $u_c$ à ses bornes atteigne une valeur limite $u_{lim}$. Figure 1 - Circuit électrique étudié. Figure 2 - Évolution temporelle de la tension $u_c$ aux bornes du condensateur. 1. Indiquez à quelles portions de la courbe correspondent les phases de charge et de décharge du condensateur. 2. Expliquer la différence de rapidité entre les phases de charge et de décharge d’un condensateur. 3. Déterminer la valeur de la tension $E$ fournie par la pile et la valeur de la tension $u_{lim}$. 4. Établir l’équation différentielle à laquelle la tension $u_c$ obéit durant une phase de décharge du condensateur. 5. La solution de cette équation est de la forme : $u_C = K e^{-\frac{t}{\tau}}$. Établir l’expression des constantes $\tau$ et $K$ 6. Déterminer la valeur de la résistance $\mathbf{R}$. CORRECTION 1. Indiquez à quelles portions de la courbe correspondent les phases de charge et de décharge du condensateur. Lorsque le condensateur se charge, sa tension $u_c$ augmente fortement, ce qui correspond aux courbes verticales sur le graphique. Lors de sa décharge, sa tension va diminuer, ce qui correspond aux courbes décroissantes (voir figure 3). Figure 3 - Réponse à la question 1. 2. Expliquer la différence de rapidité entre les phases de charge et de décharge d’un condensateur. Dans le cours: La durée de la charge ou de la décharge d’un dipôle $RC$ est déterminée par une constante de temps appelée temps caractéristique $\tau$ qui s’exprime en fonction de la résistance (en $\Omega$) et de la capacité (en $F$) : $$\tau = R C$$ Dans le cas de la charge il est dit dans l’énoncé : $r$ est de l’ordre de 10 $\Omega$, et $C = 0,47 \mu F = 0,47 \cdot 10^{-6} F$. Application numérique : $$\tau = 10 \cdot 0,47 \cdot 10^{-6} = 4,7 \cdot 10^{-6} s$$ C’est donc de l’ordre des microsecondes. La durée de la charge est normalement de l’ordre de la seconde. Il est dit dans l’énoncé que la résistance $R$ de la décharge est nettement supérieure à $r$. Cela signifie que le temps caractéristique $\tau$ de la décharge sera bien plus long. 3. Déterminer la valeur de la tension $E$ fournie par la pile et la valeur de la tension $u_{lim}$. Pour déterminer ces valeurs, il faut utiliser le graphique. La tension $E$ qui alimente le courant est atteinte lorsque le condensateur est chargé au maximum. Sur le graphique cela correspond au pic de la courbe de charge avant qu’elle passe à la courbe de décharge qui décroît. La tension $u_{lim}$ est atteinte lorsque le condensateur est complètement déchargé (énoncé). Sur le graphique cela correspond au point minimum atteint par la courbe de décharge, juste avant qu’elle recroisse (courbe de charge). On détermine graphiquement : $E = 5,5V$ et $ u_{lim} = 1,7 V$ (Voir figure 4). Figure 4 - Réponse à la question 3. 4. Établir l’équation différentielle à laquelle la tension $u_c$ obéit durant une phase de décharge du condensateur. D’après la loi des mailles : $u_C +u_R = 0$ D’après la loi d’Ohm : $u_R = R i$ Donc $u_C + R i = 0$. De plus, l’intensité du courant est la dérivée de la charge électrique $q_A$ par rapport au temps : $$ i =\dfrac{dq_A}{dt}, $$ Avec: $$ q_A = C u_C$$ D'où: $$i=\dfrac{dC}{dt}u_C+C \dfrac{du_C}{dt} $$ Or $C$ est une constante donc: $$\dfrac{dC}{dt}u_C=0.$$ Ainsi: $$i = C \dfrac{du_C}{dt} $$ Et donc l’équation différentielle de décharge est: $$u_C + RC \dfrac{du_C}{dt} = 0$$ 5. La solution de cette équation est de la forme : $u_C = K e^{-\frac{t}{\tau}}$. Établir l’expression des constantes $\tau$ et $K$ On va dans un premier temps déterminer $\tau$. Pour cela on va dériver la fonction $u_C$ : $$\dfrac{du_C}{dt} =-\dfrac{K}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}}$$ On note que $\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{u_C}{\tau}$, ce que l’on peut réécrire $u_C + \tau \dfrac{du_C}{dt} = 0$. En comparant avec l’expression de l’équation différentielle déterminée à la question précédente, $u_C + RC \dfrac{du_C}{dt} = 0$, on note que $\tau = RC$. Pour déterminer $K$ nous devons nous placer dans les conditions initiales : le condensateur est chargé d’où $u_C = E$. $K e^{-\frac{0}{RC}} = E$ à l’instant $t = 0$, or $e^0= 1$ donc $K = E$ . La solution générale de l’équation est: $$u_C = E e^{-\frac{t}{RC}} .$$ 6. Déterminer la valeur de la résistance $\mathbf{R}$. On sait que $\tau = RC$, donc $R = \dfrac{\tau}{C}$ avec $C = 0,47 \mu F$. Il faut maintenant déterminer $\tau$. Il se détermine graphiquement par deux méthodes possibles : par tracé de la tangente à l’origine ou par linéarisation. $R$ est la résistance de la décharge, à la date $t=\tau$, 63% de la tension a été utilisée, il lui reste donc 37% de sa valeur initiale : $u_C (\tau) = E \cdot 0,37 = 5,5 \cdot 0,37 = 2,0 V$. On détermine donc $ \tau= 0,8 s$. Figure 5 - Calcul de la grandeur $\tau$. On peut maintenant calculer la résistance : $$R =\dfrac{\tau}{RC} =\dfrac{0,8}{0,47\cdot 10^{-6}} = 1,7 \cdot 10^{-6} \Omega$$ Ce résultat est cohérent car il est bien supérieur à $r =10\Omega$ comme dit dans l’énoncé.