iel donné à l’instant (s’expriment en m).
Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position à un instant :
Dans un référentiel cartésien, on écrit :
Les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse s’expriment en et sont les dérivées par rapport au
temps des coordonnées cartésiennes du vecteur position :
La norme du vecteur vitesse s'exprime :
Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement.
Le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse à un instant :
Dans un repère cartésien, on l’exprime
Ses coordonnées cartésiennes s’expriment en sont les dérivées par rapport au temps de celles du
vecteur vitesse :
La norme du vecteur accélération s'exprime :
Le vecteur accélération a la même direction et de même sens que le vecteur variation de vitesse
LES MOUVEMENTS
MOUVEMENTS RECTILIGNES : la trajectoire est une portion de droite.
Rectiligne uniforme
La valeur de la vitesse est constante. Donc le vecteur vitesse est constant (même norme, même direction et même
sens). Or la dérivée d’une constante est nulle, on peut définir que le vecteur accélération .
Rectiligne uniformément varié
La variation de vitesse est constante, donc l’accélération est constante. Le vecteur accélération est toujours
dans
la direction du mouvement et sa norme est constante, mais son sens peut être :
- Le même que celui du mouvement dans le cas de l’accélération
- Opposé à celui du mouvement dans le cas du ralentissement
MOUVEMENTS CIRCULAIRES : la trajectoire est une portion de cercle.
Dans le cas des mouvements circulaires on se place dans un référentiel appelé le repère de Frenet dont
l’origine est
le point en mouvement M, avec deux vecteurs unitaires, l’un tangent à la trajectoire , et l’autre
perpendiculaire (normal) à la trajectoire :
Dans ce repère :
- Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire : (une seule coordonnée)
- Le vecteur accélération est défini par : avec deux
coordonnées,
l’accélération normale : Et l’accélération tangentielle :
Circulaire uniforme
la valeur de la vitesse est constante. Donc l’accélération tangentielle dans ce repère de Frenet est nulle car
elle
est égale à la dérivée de la vitesse : . Ainsi le vecteur accélération n’est défini que par sa
coordonnée
normale : Ce vecteur a la même direction que le vecteur unitaire normal
(c’est-à-dire perpendiculaire à la trajectoire), ainsi que le même sens qui est dirigé vers le centre (que l’on
dit
centripète). Et sa norme est égale à la valeur de l’accélération normale
Circulaire varié
La valeur de la vitesse n’est pas constante. Donc l’accélération tangentielle n’est pas nulle :
Les caractéristiques du vecteur accélération sont plus complexes et dépendent de la situation. On retiendra que
sa
direction est non perpendiculaire à la trajectoire. Son sens est dirigé vers l’intérieur de la trajectoire. Et
sa
norme est variable.
2. RELIER LES ACTIONS APPLIQUEES A UN SYSTEME A SON MOUVEMENT
Etude dynamique du mouvement
LA DEUXIEME LOI DE NEWTON : Principe fondamental de la dynamique
Cette loi n’est valable que dans les référentiels galiléens.
Un référentiel galiléen est un référentiel où le principe d’inertie est vérifié. Ce principe stipule que lorsque
la
somme des forces appliquées à un système est nulle, alors son vecteur variation de vitesse est nul également.
Les référentiels terrestre, géocentrique, héliocentrique sont considérés comme galiléens.
Pour cette loi on ne va considérer que le centre de masse G du système, il est l’unique point de ce système où
peut
toujours s’appliquer le principe d’inertie.
La masse du système doit être constante au cours du mouvement.
RAPPELS DE
La somme des forces (appelée la résultante) est définie par :
Or si tend vers 0, alors :
Donc :
Avec les forces exprimées en N, la masse en kg et l’accélération en .
Cas d’un système isolé :
En appliquant la deuxième loi de Newton, on détermine que . Cela signifie que le vecteur
vitesse du
système est constant.
- Soit le système est immobile : le vecteur vitesse est nul lui aussi
- Soit le système a un mouvement rectiligne uniforme.
Dans ces cas, la sommes des forces se compensent : première loi de Newton, ou principe d’inertie (cas
particulier de la
deuxième loi de Newton).
MOUVEMENT DANS UN CHAMP UNIFORME
Un champ vectoriel (caractérisé par un vecteur) uniforme est un champ qui reste identique en tout point d’une
région
de l’espace, c’est-à-dire qui a la même direction, le même sens et la même valeur.
MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
ATTENTION !
Dans ce chapitre l’exemple n’est pas à apprendre par cœur, il faut comprendre la
démonstration et savoir l’adapter aux changements de situations.
Le système étudié est un point un centre de masse m d’un corps. Son mouvement dans un champ uniforme
vertical est
étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.
A la date , le vecteur vitesse du système est contenu dans le plan . L’étude se
fait dans
un repère orthonormé dont l’origine O est choisie ici en position initiale
du
système.
Le champ de pesanteur a pour coordonnées :
Sous l’effet de ce champ de pesanteur le système est soumis à son poids. On va considérer que c’est la seule
force qui
intervient.
Conditions initiales :
- Le vecteur position (puisqu’on
considère
l’origine comme position initiale).
- Le vecteur vitesse : Le poids est un champ perpendiculaire à l’axe , on remarque donc un
triangle
rectangle rectangle en donc l’hypoténuse est égale à . correspond au côté
adjacent à
l’angle , on a donc Ainsi on a
On peut ainsi aussi définir . Le vecteur est compris dans le plan
donc
sa coordonnée selon le vecteur est nulle, ainsi .
Donc le vecteur vitesse a pour coordonnées :
Expression du vecteur accélération :
Deuxième loi de Newton :
Or ici la seule force exercée est le poids :
Donc : Si le vecteur accélération est égal au champ de pesanteur, alors il a les mêmes
coordonnées. Ainsi a pour coordonnées :
Expression de l’équation horaire de la vitesse :
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse, ainsi le vecteur vitesse est la primitive du
vecteur
accélération.
- : la primitive de 0 est une constante. Si cette valeur est constante cela signifie qu’à
l’instant initial
elle était déjà valable.
Donc :
- : la primitive de est , avec une constante valable à l’état initial, d’où
Ainsi on a :
- , donc
a pour coordonnées :
Or :
Donc :
Expression de l’équation horaire de position :
De la même façon que l’on a déterminé l’équation horaire de la vitesse, on calcule les primitives des
composantes du
vecteur pour obtenir l’expression du vecteur :
Pour trouver les constantes on utilise les conditions initiales :
Et : , et .
D’où :
La coordonnée z est constamment nulle, cela signifie que le mouvement est plan.
Détermination de l’équation de la trajectoire :
L’équation de la trajectoire d’un système est la relation mathématique entre ses coordonnées.
On a :
Donc :
On peut maintenant remplacer t dans l’expression de y :
On a ainsi une équation du second degré qui est l’équation d’une parabole dont le
coefficient
est nul, ce qui signifie que la courbe passe par l’origine du repère. Le coefficient est négatif, la
parabole sera
donc convexe.
MOUVEMENT DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME
Un condensateur plan est composé de deux plaques électriques, l’une chargée positivement, l’autre
négativement.
Lorsqu’on applique une tension électrique entre ces plaques parallèles, il apparaît un champ
électrique
uniforme caractérisé par :
- Sa direction : perpendiculaire aux plaques
- Son sens : de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement
- Sa norme : dépend de la tension appliquée et de la distance entre les plaques :
Pour obtenir les équations horaires du mouvement et l’équation de la trajectoire, nous allons utiliser la
même
démarche que pour celles d’un mouvement dans un champ de pesanteur.
Les coordonnées du champ électrique sont :
La particule subit la force électrique qui dépend du champ électrique : , avec la
charge
portée par la particule. Cette particule n’est soumise qu’au champ électrique.
Conditions initiales :
- Le vecteur position :
- Le vecteur vitesse : Le champ électrique est perpendiculaire à l’axe , on peut donc
utiliser le
même raisonnement que précédemment pour déterminer le vecteur vitesse à l’état initial.
Donc le vecteur vitesse a pour coordonnées :
Expression du vecteur accélération :
Deuxième loi de Newton :
Or ici la seule force exercée est le champ électrique
Donc :
Le vecteur accélération est de même sens que le champ électrique si la charge est positive, si elle
est négative
il a le sens inverse.
D’après les coordonnées du champ électrique :
On peut déterminer celles du vecteur accélération : a pour coordonnées :
Expression de l’équation horaire de la vitesse :
On calcule les primitives des composantes du vecteur :
Or :
Donc :
Expression de l’équation horaire de position :
On calcule les primitives des composantes du vecteur :
Or :
Donc :
Ici aussi la coordonnée z est constamment nulle, cela signifie que le mouvement est plan.
Détermination de l’équation de la trajectoire :
L’équation de la trajectoire d’un système est la relation mathématique entre ses coordonnées.
On a :
Donc :
On peut maintenant remplacer dans l’expression de :
On a ainsi une équation du second degré qui est l’équation d’une parabole dont le
coefficient
est nul, ce qui signifie que la courbe passe par l’origine du repère. Le signe du coefficient dépend
du signe de
la charge, en fonction duquel varie donc l’orientation de la concavité de la parabole.
ASPECTS ENERGETIQUES
L’énergie cinétique est liée à la vitesse du système : Elle s’exprime en Joules
(J), la
masse en kg et la vitesse en .
L’énergie potentielle dépend de la force exercée sur le système :
- Si on est dans un champ de pesanteur, la force exercée sera le poids. L’énergie sera donc l’énergie
potentielle de
pesanteur liée à l’altitude du système : Elle s’exprime elle aussi en J, la masse en kg
et
l’altitude z, en m.
- Si on est dans un champ électrique, l’énergie sera l’énergie potentille électrique liée au potentiel
électrique du
système : Avec q la charge qui s’exprime en Coulomb (C) et V le potentiel qui s’exprime
en Volt (V).
A partir de ces deux énergies on peut définir l’énergie totale du système, qui est l’énergie mécanique :
Théorème de l’énergie cinétique : il permet de faire le lien énergétique en les forces
sous leur
forme de travail.
RAPPEL DE
Le travail représente la capacité d’une force à modifier l’énergie cinétique du système.
La variation de l’énergie mécanique peut se définir par la somme des travaux des forces (seulement
celles considérées
comme non-conservatives c’est-à-dire qui modifient l’énergie du système) :
Dans le cas d’un champ électrique ou d’un champ de pesanteur uniforme, les forces exercées qui sont la
force
électrique ou le poids, sont des forces conservatives (elles n’ont pas d’impact sur l’énergie
mécanique). Ainsi :
Ici l’énergie mécanique du système se conserve. Son énergie
cinétique est complétement convertie en énergie potentielle, et inversement.
ACCÉLÉRATION LINÉAIRE D'UNE PARTICULE CHARGÉE
Un accélérateur linéaire est un condensateur constitué de deux plaques percées permettant l’entrée et
la sortie d’une
particule chargée électriquement. Le but est de l’accélérer en ligne droite. Un champ électrique
uniforme de même
direction que celle du mouvement rectiligne de la particule, est créé entre les plaques. Il va permettre
une force
suffisante pour augmenter la vitesse de la particule.
Le travail d’une force électrique est défini par :
Or et sont colinéaires, donc l’angle est nul, et
Ainsi :
Avec et
D’où :
Avec :
Après simplification il en résulte :
Cette formule peut-être directement donnée en exercice, mais il faut comprendre son
origine.
3. MOUVEMENT DANS UN CHAMP GRAVITATIONNEL
Le champ de gravitation newtonien dû au corps A, en B à la distance r :
G : constante universelle de gravitation
Mouvements des planètes et des satellites
On se place dans le cas où on étudie le mouvement du centre de masse P d’une planète (ou d’un
satellite) de masse m.
Ce système est en orbite considérée circulaire autour d’un astre attracteur A de masse M.
Cette étude se fait dans un référentiel astrocentrique considéré comme galiléen et muni du
repère de Frenet centré
sur P.
La planète (ou le satellite) est soumise à la force gravitationnelle exercée par l’astre. Dans
le repère de Frenet
cette force s’exprime par :
La planète est soumise seulement à la force de gravitation exercée par l’astre, ainsi on peut
appliquer la deuxième
loi de Newton : Or Donc : Ici
, on peut
ainsi définir le vecteur accélération :
Dans le repère de Frenet centré sur P le vecteur accélération est défini par :
En comparant avec l’expression trouvée précédemment, on détermine que : Ce qui
signifie que le
vecteur vitesse est constant donc la valeur peut être déterminée car :
Ainsi on a :
Et :
Les lois de Kepler
Première loi de Kepler
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de masse d’une planète est une ellipse
dont le centre de
masse du Soleil est l’un des foyers.
Une ellipse est une courbe plane définie comme l’ensemble des points P vérifiant :
F et F’ sont les foyers de l’ellipse et 2a correspond au grand axe de l’ellipse. Lorsque ces foyers
sont confondus,
alors l’ellipse devient un cercle de rayon r = a.
Deuxième loi de Kepler
Le segment de droite reliant les centres de masses du Soleil et de la planète balaie des aires
égales pendant des
durées égales. La valeur de la vitesse d’une planète le long de sa trajectoire elliptique autour du
Soleil n’est pas
constante ; plus la planète s’approche du Soleil, plus sa vitesse augmente.
Troisième loi de Kepler
La période de révolution T d’une planète est la durée qu’elle met pour faire un tour autour du
Soleil :
On va remplacer par sa valeur déterminée précédemment :
D’où :
Avec r le rayon de la trajectoire.
4. MODELISER L’ECOULEMENT D’UN FLUIDE
La poussée d’Archimède
La poussée d’Archimède est la somme des forces pressantes exercées par un fluide sur la
partie immergée d’un
corps, solide ou fluide. C’est l’opposé du poids du fluide déplacé par ce corps.
Avec la masse volumique du fluide (), le volume immergé du
corps () et
l’intensité de la pesanteur ().
Ecoulement d’un fluide en régime permanent
Un fluide s’écoule en régime permanent indépendant du temps si la valeur de la vitesse du fluide en
toute position de
l’écoulement est indépendante du temps. Le débit volumique s’exprime en et se
définit par :
Avec le volume du fluide () , la section de surface () traversée par le
fluide et la
distance parcourue () par le fluide durant la durée (), la vitesse d’un élément
du fluide ().
Le débit volumique se conserve au cours de l’écoulement d’un fluide incompressible en
régime permanent
indépendant du temps, c’est donc une constante :
La relation de Bernoulli
Elle est vérifiée le long d’une ligne de courant pour un fluide incompressible qui s’écoule en
régime permanent
indépendant du temps. Elle relie, en toute position du fluide appartenant à une même ligne de
courant, la pression
, la valeur de la vitesse et la coordonnée verticale de la position. Et elle permet de
calculer , ou
quand les deux autres sont connues.
Effet Venturi
On peut appliquer la relation de Bernoulli à l’écoulement d’un fluide incompressible dans un tube
dont la section se
resserre ou s’évase. Prenons le cas où la section S diminue. Le débit volumique est conservé donc la
valeur de la
vitesse augmente :
Et inversement, si la section augmente, alors la vitesse du fluide diminue.
Or ici : Après simplification on retrouve :
Cette expression met en évidence que si la vitesse du fluide augmente, alors sa pression diminue :
c’est l’effet
Venturi.