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Fiche vérifiée

MOUVEMENTS ET INTERACTIONS

Rappels

Le mouvement d’un système est caractérisé par son vecteur vitesse vi dont :

  • La direction est la tangente à la trajectoire du système
  • Le sens est celui du mouvement du système
  • La valeur est la moyenne de la vitesse du système entre deux instants très rapprochés ti et ti+1 : vi=MiMi+1ti+1ti Avec vi exprimée en ms1, Mi et Mi+1 en m, ti et ti+1 en s


Le vecteur variation de vitesse est défini entre deux positions Mi et Mi+1 du système par : (Δv)ii+1=vi+1vi
Le vecteur somme des forces s’exprime : ΣF=mΔvΔt
Dans un référentiel donné :
  • La somme des forces appliquées à un système et son vecteur variation de vitesse sont colinéaires et de même sens.
  • Plus la masse du système est élevée, plus la valeur de la somme des forces doit être élevée pour faire varier le vecteur vitesse.

1. DECRIRE UN MOUVEMENT : ETUDE CINEMATIQUE

LES VECTEURS POSITION, VITESSE ET ACCELERATION

Dans un référentiel donné, associé à un repère cartésien (O,i,j), pour un point M d’un système, à tout instant t, la position d’un point M est donnée par le vecteur position: OM=[xy]

La norme du vecteur position s'exprime : OM=x2+y2 Avec x et y les coordonnées cartésiennes du point M dans le référentiel donné à l’instant t (...

Suite du contenu
iel donné à l’instant t (s’expriment en m).

Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position à un instant t : v=dOMdt Dans un référentiel cartésien, on écrit : v=[vxvy] Les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse s’expriment en ms1 et sont les dérivées par rapport au temps des coordonnées cartésiennes du vecteur position : vx=dxdt vy=dydt

La norme du vecteur vitesse s'exprime : v=vx2+vy2

Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement.

Les notions essentielles du chapitre Mouvements et interactions Physique - Chimie

Le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse à un instant t : a=dvdt Dans un repère cartésien, on l’exprime a=[axay] Ses coordonnées cartésiennes s’expriment en ms2 sont les dérivées par rapport au temps de celles du vecteur vitesse : ax=vxdt=d2xdt2 ay=vydt=d2ydt2

La norme du vecteur accélération s'exprime : a=ax2+ay2

Le vecteur accélération a la même direction et de même sens que le vecteur variation de vitesse Δv

LES MOUVEMENTS

MOUVEMENTS RECTILIGNES : la trajectoire est une portion de droite.

Rectiligne uniforme

La valeur de la vitesse est constante. Donc le vecteur vitesse est constant (même norme, même direction et même sens). Or la dérivée d’une constante est nulle, on peut définir que le vecteur accélération a=0.

Rectiligne uniformément varié

La variation de vitesse est constante, donc l’accélération est constante. Le vecteur accélération est toujours dans la direction du mouvement et sa norme est constante, mais son sens peut être :

  • Le même que celui du mouvement dans le cas de l’accélération
  • Opposé à celui du mouvement dans le cas du ralentissement

MOUVEMENTS CIRCULAIRES : la trajectoire est une portion de cercle.

Dans le cas des mouvements circulaires on se place dans un référentiel appelé le repère de Frenet dont l’origine est le point en mouvement M, avec deux vecteurs unitaires, l’un tangent à la trajectoire ut, et l’autre perpendiculaire (normal) à la trajectoire un : (M,un,ut) Dans ce repère :

  • Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire : v=vut (une seule coordonnée)
  • Le vecteur accélération est défini par : a=anun+atut avec deux coordonnées, l’accélération normale : an=v2R Et l’accélération tangentielle : at=dvdt

Circulaire uniforme

la valeur de la vitesse est constante. Donc l’accélération tangentielle dans ce repère de Frenet est nulle car elle est égale à la dérivée de la vitesse : at=0. Ainsi le vecteur accélération n’est défini que par sa coordonnée normale : a=anun Ce vecteur a la même direction que le vecteur unitaire normal un (c’est-à-dire perpendiculaire à la trajectoire), ainsi que le même sens qui est dirigé vers le centre (que l’on dit centripète). Et sa norme est égale à la valeur de l’accélération normale a=an=v2R

Circulaire varié

La valeur de la vitesse n’est pas constante. Donc l’accélération tangentielle n’est pas nulle : at=dvdt0


Les caractéristiques du vecteur accélération sont plus complexes et dépendent de la situation. On retiendra que sa direction est non perpendiculaire à la trajectoire. Son sens est dirigé vers l’intérieur de la trajectoire. Et sa norme est variable.

2. RELIER LES ACTIONS APPLIQUEES A UN SYSTEME A SON MOUVEMENT

Etude dynamique du mouvement

LA DEUXIEME LOI DE NEWTON : Principe fondamental de la dynamique

Cette loi n’est valable que dans les référentiels galiléens. Un référentiel galiléen est un référentiel où le principe d’inertie est vérifié. Ce principe stipule que lorsque la somme des forces appliquées à un système est nulle, alors son vecteur variation de vitesse est nul également. Si ΣF=0, alors Δv=0 Les référentiels terrestre, géocentrique, héliocentrique sont considérés comme galiléens. Pour cette loi on ne va considérer que le centre de masse G du système, il est l’unique point de ce système où peut toujours s’appliquer le principe d’inertie.
La masse du système doit être constante au cours du mouvement.

RAPPELS DE 1ère

La somme des forces (appelée la résultante) est définie par : ΣF=mΔvΔt Or si Δt tend vers 0, alors : limΔt0ΔvΔt=dvdt=a Donc : ΣF=ma Avec les forces exprimées en N, la masse en kg et l’accélération en ms2.

Cas d’un système isolé : ΣF=0

En appliquant la deuxième loi de Newton, on détermine que a=0. Cela signifie que le vecteur vitesse du système est constant.

  • Soit le système est immobile : le vecteur vitesse est nul lui aussi v=0
  • Soit le système a un mouvement rectiligne uniforme.
Dans ces cas, la sommes des forces se compensent : première loi de Newton, ou principe d’inertie (cas particulier de la deuxième loi de Newton).

MOUVEMENT DANS UN CHAMP UNIFORME

Un champ vectoriel (caractérisé par un vecteur) uniforme est un champ qui reste identique en tout point d’une région de l’espace, c’est-à-dire qui a la même direction, le même sens et la même valeur.

MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

ATTENTION !

Dans ce chapitre l’exemple n’est pas à apprendre par cœur, il faut comprendre la démonstration et savoir l’adapter aux changements de situations.

Le système étudié est un point un centre de masse m d’un corps. Son mouvement dans un champ uniforme vertical est étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.

A la date t=0s, le vecteur vitesse v0 du système est contenu dans le plan (Oxy). L’étude se fait dans un repère orthonormé (O,i,j,k) dont l’origine O est choisie ici en position initiale du système. Le champ de pesanteur g a pour coordonnées : [gx=0gy=ggz=0] Sous l’effet de ce champ de pesanteur le système est soumis à son poids. On va considérer que c’est la seule force qui intervient.

Les notions essentielles du chapitre Mouvements et interactions

Conditions initiales :

  • Le vecteur position OG0=[x0=0y0=0z0=0] (puisqu’on considère l’origine comme position initiale).
  • Le vecteur vitesse v0 : Le poids est un champ perpendiculaire à l’axe x, on remarque donc un triangle rectangle (OMG) rectangle en M donc l’hypoténuse est égale à v0. vx0 correspond au côté adjacent à l’angle α, on a donc cosα=vx0v0 Ainsi on a vx0=v0cosα
    On peut ainsi aussi définir vy0=v0sinα. Le vecteur v0 est compris dans le plan (Oxy) donc sa coordonnée selon le vecteur k est nulle, ainsi vz0=0. Donc le vecteur vitesse v0 a pour coordonnées : [vx0=v0cosαvy0=v0sinαvz0]

Expression du vecteur accélération :

Deuxième loi de Newton : ΣF=ma Or ici la seule force exercée est le poids : P=mg Donc : g=a Si le vecteur accélération est égal au champ de pesanteur, alors il a les mêmes coordonnées. Ainsi a a pour coordonnées : [ax=0ay=gaz=0]

Expression de l’équation horaire de la vitesse :

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse, ainsi le vecteur vitesse est la primitive du vecteur accélération.

  • ax=0 : la primitive de 0 est une constante. Si cette valeur est constante cela signifie qu’à l’instant initial elle était déjà valable.
    Donc : vx=vx0
  • ay=g : la primitive de g est gt+Cy, avec Cy une constante valable à l’état initial, d’où Cy=vy0
    Ainsi on a : vy=gt+vy0
  • az=0, donc vz=vz0
v a pour coordonnées : [vx=vx0vy=gt+vy0vz=vz0] Or : v0=[vx0=v0cosαvy0=v0sinαvz0=0] Donc : v=[vx=v0cosαvy=gt+v0sinαvz0=0]

Expression de l’équation horaire de position :

De la même façon que l’on a déterminé l’équation horaire de la vitesse, on calcule les primitives des composantes du vecteur v pour obtenir l’expression du vecteur OM : OM=[x=(v0cosα)t+Cxy=12gt2+(v0sinα)t+Cyz=Cz] Pour trouver les constantes on utilise les conditions initiales : OG0=[x0=0y0=0z0=0] Et : Cx=x0, Cy=y0 et Cz=z0.
D’où : OM=[x=(v0cosα)ty=12gt2+(v0sinα)tz=0] La coordonnée z est constamment nulle, cela signifie que le mouvement est plan.

Détermination de l’équation de la trajectoire :

L’équation de la trajectoire d’un système est la relation mathématique entre ses coordonnées.
On a : x=(v0cosα)t Donc : t=xv0cosα On peut maintenant remplacer t dans l’expression de y : y=12g(xv0cosα)2+v0sinαxv0cosα

On rappelle que : sinαcosα=tanα

y=g2(v0cosα)2x2+tanαx On a ainsi une équation du second degré qui est l’équation d’une parabole y=ax2+bx+c dont le coefficient c est nul, ce qui signifie que la courbe passe par l’origine du repère. Le coefficient a est négatif, la parabole sera donc convexe.

MOUVEMENT DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME

Un condensateur plan est composé de deux plaques électriques, l’une chargée positivement, l’autre négativement. Lorsqu’on applique une tension électrique U entre ces plaques parallèles, il apparaît un champ électrique E uniforme caractérisé par :

  • Sa direction : perpendiculaire aux plaques
  • Son sens : de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement
  • Sa norme : dépend de la tension U appliquée et de la distance entre les plaques : E=|U|d

Pour obtenir les équations horaires du mouvement et l’équation de la trajectoire, nous allons utiliser la même démarche que pour celles d’un mouvement dans un champ de pesanteur.
Les coordonnées du champ électrique sont : E=[Ex=0Ey=EEz=0] La particule subit la force électrique qui dépend du champ électrique : Fe=qE, avec q la charge portée par la particule. Cette particule n’est soumise qu’au champ électrique.

Conditions initiales :

  • Le vecteur position : OG0=[x0=0y0=0z0=0]
  • Le vecteur vitesse v0 : Le champ électrique est perpendiculaire à l’axe x, on peut donc utiliser le même raisonnement que précédemment pour déterminer le vecteur vitesse à l’état initial.
    Donc le vecteur vitesse v0 a pour coordonnées : [vx0=v0cosαvy0=v0sinαvz0=0]

Expression du vecteur accélération :

Deuxième loi de Newton : ΣF=ma Or ici la seule force exercée est le champ électrique Fe=qE Donc : a=qmE Le vecteur accélération est de même sens que le champ électrique si la charge q est positive, si elle est négative il a le sens inverse.
D’après les coordonnées du champ électrique : E=[Ex=0Ey=EEz=0] On peut déterminer celles du vecteur accélération : a a pour coordonnées : [ax=qmEx=0ay=qmEy=qmEaz=qmEz=0]

Expression de l’équation horaire de la vitesse :

On calcule les primitives des composantes du vecteur a : v=[vx=vx0vy=qmEt+vy0vz=vz0] Or : v0=[vx0=v0cosαvy0=v0sinαvz0=0] Donc : v=[vx=v0cosαvy=qmEt+v0sinαvz=0]

Expression de l’équation horaire de position :

On calcule les primitives des composantes du vecteur v : OM=[x=(v0cosα)t+x0y=q2mEt2+(v0sinα)t+y0z=z0] Or : OG0=[x0=0y0=0z0=0] Donc : OM=[x=(v0cosα)ty=q2mEt2+(v0sinα)tz=0] Ici aussi la coordonnée z est constamment nulle, cela signifie que le mouvement est plan.

Détermination de l’équation de la trajectoire :

L’équation de la trajectoire d’un système est la relation mathématique entre ses coordonnées.
On a : x=(v0cosα)t Donc : t=xv0cosα On peut maintenant remplacer t dans l’expression de y : y=q2mE(xv0cosα)2+v0sinαxv0cosα=qE2m(v0cosα)2x2+tanαx On a ainsi une équation du second degré qui est l’équation d’une parabole y=ax2+bx+c dont le coefficient c est nul, ce qui signifie que la courbe passe par l’origine du repère. Le signe du coefficient a dépend du signe de la charge, en fonction duquel varie donc l’orientation de la concavité de la parabole.

ASPECTS ENERGETIQUES

L’énergie cinétique est liée à la vitesse du système : Ec=12mv2 Elle s’exprime en Joules (J), la masse en kg et la vitesse en ms1.
L’énergie potentielle dépend de la force exercée sur le système :

  • Si on est dans un champ de pesanteur, la force exercée sera le poids. L’énergie sera donc l’énergie potentielle de pesanteur liée à l’altitude du système : Epp=mgz Elle s’exprime elle aussi en J, la masse en kg et l’altitude z, en m.
  • Si on est dans un champ électrique, l’énergie sera l’énergie potentille électrique liée au potentiel électrique du système : Epe=qV Avec q la charge qui s’exprime en Coulomb (C) et V le potentiel qui s’exprime en Volt (V).
A partir de ces deux énergies on peut définir l’énergie totale du système, qui est l’énergie mécanique : Em=Ec+Ep

Les notions essentielles du chapitre Physique - Chimie Mouvements et interactions

Théorème de l’énergie cinétique : il permet de faire le lien énergétique en les forces sous leur forme de travail.

RAPPEL DE 1ère

Le travail représente la capacité d’une force à modifier l’énergie cinétique du système. WAB=FAB=FABcos(F,AB)^

La variation de l’énergie mécanique peut se définir par la somme des travaux des forces (seulement celles considérées comme non-conservatives c’est-à-dire qui modifient l’énergie du système) : ΔEc=Em(B)Em(A)=ΣWAB(f) Dans le cas d’un champ électrique ou d’un champ de pesanteur uniforme, les forces exercées qui sont la force électrique ou le poids, sont des forces conservatives (elles n’ont pas d’impact sur l’énergie mécanique). Ainsi : ΔEm=0 Ici l’énergie mécanique du système se conserve. Son énergie cinétique est complétement convertie en énergie potentielle, et inversement.

ACCÉLÉRATION LINÉAIRE D'UNE PARTICULE CHARGÉE

Un accélérateur linéaire est un condensateur constitué de deux plaques percées permettant l’entrée et la sortie d’une particule chargée électriquement. Le but est de l’accélérer en ligne droite. Un champ électrique uniforme de même direction que celle du mouvement rectiligne de la particule, est créé entre les plaques. Il va permettre une force suffisante pour augmenter la vitesse de la particule.

Les notions essentielles du chapitre Physique - Chimie

Le travail d’une force électrique est défini par : WAB=FeAB=FeABcos(Fe,AB)^ Or Fe et AB sont colinéaires, donc l’angle est nul, et cos(Fe,AB)^=1 Ainsi : WAB=FeAB Avec Fe=qE et AB=la distance d
D’où : WAB=qEd Avec : E=UABd Après simplification il en résulte : WAB=qUAB

Cette formule peut-être directement donnée en exercice, mais il faut comprendre son origine.

3. MOUVEMENT DANS UN CHAMP GRAVITATIONNEL

Le champ de gravitation newtonien dû au corps A, en B à la distance r : G=GmAr2uAB G : constante universelle de gravitation G=6,671011Nm2kg2

Mouvements des planètes et des satellites

On se place dans le cas où on étudie le mouvement du centre de masse P d’une planète (ou d’un satellite) de masse m. Ce système est en orbite considérée circulaire autour d’un astre attracteur A de masse M.
Cette étude se fait dans un référentiel astrocentrique considéré comme galiléen et muni du repère de Frenet centré sur P.
La planète (ou le satellite) est soumise à la force gravitationnelle exercée par l’astre. Dans le repère de Frenet cette force s’exprime par : FG=GmMr2un=mG La planète est soumise seulement à la force de gravitation exercée par l’astre, ainsi on peut appliquer la deuxième loi de Newton : ΣF=ma Or mG=ma Donc : G=a Ici mA=M, on peut ainsi définir le vecteur accélération : a=GMr2un Dans le repère de Frenet centré sur P le vecteur accélération est défini par : a=v2run+dvdtut En comparant avec l’expression trouvée précédemment, on détermine que : dvdt=0 Ce qui signifie que le vecteur vitesse est constant donc la valeur peut être déterminée car : v2r=GMr2 Ainsi on a : v=GMr Et : v=GMrut

Les lois de Kepler

Première loi de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de masse d’une planète est une ellipse dont le centre de masse du Soleil est l’un des foyers. Une ellipse est une courbe plane définie comme l’ensemble des points P vérifiant : FP+FP=d+d=2a F et F’ sont les foyers de l’ellipse et 2a correspond au grand axe de l’ellipse. Lorsque ces foyers sont confondus, alors l’ellipse devient un cercle de rayon r = a.

Mouvements et interactions Les notions essentielles du chapitre Physique - Chimie

Deuxième loi de Kepler

Le segment de droite reliant les centres de masses du Soleil et de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. La valeur de la vitesse d’une planète le long de sa trajectoire elliptique autour du Soleil n’est pas constante ; plus la planète s’approche du Soleil, plus sa vitesse augmente.

Troisième loi de Kepler

La période de révolution T d’une planète est la durée qu’elle met pour faire un tour autour du Soleil : T=2πrv On va remplacer v par sa valeur déterminée précédemment : T=2πrGMr=2πr3GM T2=4π2r3GM D’où : T2r3=4π2GM= une constante car G et M sontconstantes. Avec r le rayon de la trajectoire.

4. MODELISER L’ECOULEMENT D’UN FLUIDE

La poussée d’Archimède

La poussée d’Archimède Fp est la somme des forces pressantes exercées par un fluide sur la partie immergée d’un corps, solide ou fluide. C’est l’opposé du poids du fluide déplacé par ce corps. Fp=ρfluideVimg Avec ρfluide la masse volumique du fluide (kgm3), Vim le volume immergé du corps (m3) et g l’intensité de la pesanteur (Nkg1).

Mouvements et interactions Les notions essentielles du chapitre

Ecoulement d’un fluide en régime permanent

Un fluide s’écoule en régime permanent indépendant du temps si la valeur de la vitesse du fluide en toute position de l’écoulement est indépendante du temps. Le débit volumique s’exprime en m3s1 et se définit par : Dv=VΔt=Sv Avec V le volume du fluide (m3) V=lS, S la section de surface (m2) traversée par le fluide et l la distance parcourue (m) par le fluide durant la durée Δt (s), v la vitesse d’un élément du fluide (ms1).
Le débit volumique se conserve au cours de l’écoulement d’un fluide incompressible en régime permanent indépendant du temps, c’est donc une constante : Dy=constante

Mouvements et interactions Physique - Chimie Les notions essentielles du chapitre

La relation de Bernoulli

Elle est vérifiée le long d’une ligne de courant pour un fluide incompressible qui s’écoule en régime permanent indépendant du temps. Elle relie, en toute position du fluide appartenant à une même ligne de courant, la pression P, la valeur v de la vitesse et la coordonnée verticale z de la position. Et elle permet de calculer P, v ou z quand les deux autres sont connues. 12ρv2+ρgz+P=constante

Effet Venturi

On peut appliquer la relation de Bernoulli à l’écoulement d’un fluide incompressible dans un tube dont la section se resserre ou s’évase. Prenons le cas où la section S diminue. Le débit volumique est conservé donc la valeur de la vitesse augmente : D=Sv
Et inversement, si la section S augmente, alors la vitesse du fluide diminue. 12ρvA2+ρgzA+PA=12ρvB2+ρgzB+PB=constante Or ici : zA=zB Après simplification on retrouve : 12ρvA2+PA=12ρvB2+PB=constante Cette expression met en évidence que si la vitesse du fluide augmente, alors sa pression diminue : c’est l’effet Venturi.

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