Les notions essentielles du chapitre

iel donné à l’instant $t$ (s’expriment en m).

Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position à un instant $t$ : $$\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}}$$ Dans un référentiel cartésien, on écrit : $$\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]$$ Les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse s’expriment en $m\cdot s^{-1}$ et sont les dérivées par rapport au temps des coordonnées cartésiennes du vecteur position : $$v_x={\displaystyle \frac{dx}{dt}}$$ $$v_y={\displaystyle \frac{dy}{dt}}$$

Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement.

Le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse à un instant $t$ : $$\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}$$ Dans un repère cartésien, on l’exprime $$\overrightarrow{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right]$$ Ses coordonnées cartésiennes s’expriment en $m\cdot s^{-2}$ sont les dérivées par rapport au temps de celles du vecteur vitesse : $$a_x={\displaystyle \frac{v_x}{dt}}={\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}$$ $$a_y={\displaystyle \frac{v_y}{dt}}={\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}$$

Le vecteur accélération a la même direction et de même sens que le vecteur variation de vitesse $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$

LES MOUVEMENTS

MOUVEMENTS RECTILIGNES : la trajectoire est une portion de droite.

Rectiligne uniforme

La valeur de la vitesse est constante. Donc le vecteur vitesse est constant (même norme, même direction et même sens). Or la dérivée d’une constante est nulle, on peut définir que le vecteur accélération $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$.

Rectiligne uniformément varié

La variation de vitesse est constante, donc l’accélération est constante. Le vecteur accélération est toujours dans la direction du mouvement et sa norme est constante, mais son sens peut être :

• Le même que celui du mouvement dans le cas de l’accélération
• Opposé à celui du mouvement dans le cas du ralentissement

MOUVEMENTS CIRCULAIRES : la trajectoire est une portion de cercle.

Dans le cas des mouvements circulaires on se place dans un référentiel appelé le repère de Frenet dont l’origine est le point en mouvement M, avec deux vecteurs unitaires, l’un tangent à la trajectoire $\overrightarrow{u_t}$, et l’autre perpendiculaire (normal) à la trajectoire $\overrightarrow{u_n}$ : $$(M,\overrightarrow{u_n},\overrightarrow{u_t})$$ Dans ce repère :

• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire : $\overrightarrow{v}=v\overrightarrow{u_t}$ (une seule coordonnée)
• Le vecteur accélération est défini par : $\overrightarrow{a}=a_n\cdot \overrightarrow{u_n}+a_t\cdot \overrightarrow{u_t}$ avec deux coordonnées, l’accélération normale : $$a_n={\displaystyle \frac{v^2}{R}}$$ Et l’accélération tangentielle : $$a_t={\displaystyle \frac{dv}{dt}}$$

Circulaire uniforme

la valeur de la vitesse est constante. Donc l’accélération tangentielle dans ce repère de Frenet est nulle car elle est égale à la dérivée de la vitesse : $a_t=0$. Ainsi le vecteur accélération n’est défini que par sa coordonnée normale : $$\overrightarrow{a}=a_n\cdot \overrightarrow{u_n}$$ Ce vecteur a la même direction que le vecteur unitaire normal $\overrightarrow{u_n}$ (c’est-à-dire perpendiculaire à la trajectoire), ainsi que le même sens qui est dirigé vers le centre (que l’on dit centripète). Et sa norme est égale à la valeur de l’accélération normale $$a=a_n={\displaystyle \frac{v^2}{R}}$$

Circulaire varié

La valeur de la vitesse n’est pas constante. Donc l’accélération tangentielle n’est pas nulle : $$a_t={\displaystyle \frac{dv}{dt}}\ne 0$$

Les caractéristiques du vecteur accélération sont plus complexes et dépendent de la situation. On retiendra que sa direction est non perpendiculaire à la trajectoire. Son sens est dirigé vers l’intérieur de la trajectoire. Et sa norme est variable.

2. RELIER LES ACTIONS APPLIQUEES A UN SYSTEME A SON MOUVEMENT

Etude dynamique du mouvement

LA DEUXIEME LOI DE NEWTON : Principe fondamental de la dynamique

Cette loi n’est valable que dans les référentiels galiléens. Un référentiel galiléen est un référentiel où le principe d’inertie est vérifié. Ce principe stipule que lorsque la somme des forces appliquées à un système est nulle, alors son vecteur variation de vitesse est nul également. $$\text{Si }\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}\text{, alors }\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$$ Les référentiels terrestre, géocentrique, héliocentrique sont considérés comme galiléens. Pour cette loi on ne va considérer que le centre de masse G du système, il est l’unique point de ce système où peut toujours s’appliquer le principe d’inertie.
La masse du système doit être constante au cours du mouvement.

RAPPELS DE $1^{ère}$

Cas d’un système isolé : $\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F}=0$

En appliquant la deuxième loi de Newton, on détermine que $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$. Cela signifie que le vecteur vitesse du système est constant.

• Soit le système est immobile : le vecteur vitesse est nul lui aussi $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$
• Soit le système a un mouvement rectiligne uniforme.

Dans ces cas, la sommes des forces se compensent : première loi de Newton, ou principe d’inertie (cas particulier de la deuxième loi de Newton).

MOUVEMENT DANS UN CHAMP UNIFORME

Un champ vectoriel (caractérisé par un vecteur) uniforme est un champ qui reste identique en tout point d’une région de l’espace, c’est-à-dire qui a la même direction, le même sens et la même valeur.

MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

ATTENTION !

Le système étudié est un point un centre de masse m d’un corps. Son mouvement dans un champ uniforme vertical est étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.

A la date $t=0s$, le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_0}$ du système est contenu dans le plan $(Oxy)$. L’étude se fait dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ dont l’origine O est choisie ici en position initiale du système. Le champ de pesanteur $\overrightarrow{g}$ a pour coordonnées : $$\left[\begin{array}{c}{g}_x=0\\ g_y=-g\\ g_z=0\end{array}\right]$$ Sous l’effet de ce champ de pesanteur le système est soumis à son poids. On va considérer que c’est la seule force qui intervient.

Conditions initiales :

• Le vecteur position $\overrightarrow{O{G}_0}=\left[\begin{array}{c}{x}_0=0\\ y_0=0\\ z_0=0\end{array}\right]$ (puisqu’on considère l’origine comme position initiale).
• Le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_0}$ : Le poids est un champ perpendiculaire à l’axe $x$, on remarque donc un triangle rectangle $(OMG)$ rectangle en $M$ donc l’hypoténuse est égale à $\overrightarrow{v_0}$. $v_{x0}$ correspond au côté adjacent à l’angle $\alpha$, on a donc $$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{v_{x0}}{v_0}}$$ Ainsi on a $v_{x0}=v_0\cos \alpha$
  On peut ainsi aussi définir $v_{y0}=v_0\sin \alpha$. Le vecteur $\overrightarrow{v_0}$ est compris dans le plan $(Oxy)$ donc sa coordonnée selon le vecteur $\overrightarrow{k}$ est nulle, ainsi $v_{z0}=0$. Donc le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_0}$ a pour coordonnées : $$\left[\begin{array}{c}{v}_{x0}=v_0\cos \alpha \\ v_{y0}=v_0\sin \alpha \\ v_{z0}\end{array}\right]$$

Expression du vecteur accélération :

Deuxième loi de Newton : $$\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$$ Or ici la seule force exercée est le poids : $$\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$$ Donc : $$\overrightarrow{g}=\overrightarrow{a}$$ Si le vecteur accélération est égal au champ de pesanteur, alors il a les mêmes coordonnées. Ainsi $\overrightarrow{a}$ a pour coordonnées : $$\left[\begin{array}{c}{a}_x=0\\ a_y=-g\\ a_z=0\end{array}\right]$$

Expression de l’équation horaire de la vitesse :

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse, ainsi le vecteur vitesse est la primitive du vecteur accélération.

• $a_x=0$ : la primitive de 0 est une constante. Si cette valeur est constante cela signifie qu’à l’instant initial elle était déjà valable.
  Donc : $$v_x=v_{x0}$$
• $a_y=-g$ : la primitive de $-g$ est $-gt+C_y$, avec $C_y$ une constante valable à l’état initial, d’où $C_y=v_{y0}$
  Ainsi on a : $$v_y=-gt+v_{y0}$$
• $a_z=0$, donc $v_z=v_{z0}$

$\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées : $$\left[\begin{array}{c}{v}_x=v_{x0}\\ v_y=-gt+v_{y0}\\ v_z=v_{z0}\end{array}\right]$$ Or : $$\overrightarrow{v_0}=\left[\begin{array}{c}{v}_{x0}=v_0\cos \alpha \\ v_{y0}=v_0\sin \alpha \\ v_{z0}=0\end{array}\right]$$ Donc : $$\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_x=v_0\cos \alpha \\ v_y=-gt+v_0\sin \alpha \\ v_{z0}=0\end{array}\right]$$

Expression de l’équation horaire de position :

De la même façon que l’on a déterminé l’équation horaire de la vitesse, on calcule les primitives des composantes du vecteur $\overrightarrow{v}$ pour obtenir l’expression du vecteur $\overrightarrow{OM}$ : $$\overrightarrow{OM}=\left[\begin{array}{c}x=(v_0\cos \alpha )t+C_x\\ y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2+(v_0\sin \alpha )t+C_y\\ z=C_z\end{array}\right]$$ Pour trouver les constantes on utilise les conditions initiales : $$\overrightarrow{O{G}_0}=\left[\begin{array}{c}{x}_0=0\\ y_0=0\\ z_0=0\end{array}\right]$$ Et : $C_x=x_0$, $C_y=y_0$ et $C_z=z_0$.
D’où : $$\overrightarrow{OM}=\left[\begin{array}{c}x=(v_0\cos \alpha )t\\ y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2+(v_0\sin \alpha )t\\ z=0\end{array}\right]$$ La coordonnée z est constamment nulle, cela signifie que le mouvement est plan.

Détermination de l’équation de la trajectoire :

L’équation de la trajectoire d’un système est la relation mathématique entre ses coordonnées.
On a : $$x=(v_0\cos \alpha )t$$ Donc : $$t={\displaystyle \frac{x}{v_0\cos \alpha }}$$ On peut maintenant remplacer t dans l’expression de y : $$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{\left({\displaystyle \frac{x}{v_0\cos \alpha }}\right)}^2+v_0\sin \alpha {\displaystyle \frac{x}{v_0\cos \alpha }}$$

$$y=-{\displaystyle \frac{g}{2(v_0\cos \alpha {)}^2}}{x}^2+\tan \alpha x$$ On a ainsi une équation du second degré qui est l’équation d’une parabole $y=a{x}^2+bx+c$ dont le coefficient $c$ est nul, ce qui signifie que la courbe passe par l’origine du repère. Le coefficient $a$ est négatif, la parabole sera donc convexe.

MOUVEMENT DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME

Un condensateur plan est composé de deux plaques électriques, l’une chargée positivement, l’autre négativement. Lorsqu’on applique une tension électrique $U$ entre ces plaques parallèles, il apparaît un champ électrique $E$ uniforme caractérisé par :

• Sa direction : perpendiculaire aux plaques
• Son sens : de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement
• Sa norme : dépend de la tension $U$ appliquée et de la distance entre les plaques : $$E={\displaystyle \frac{|U|}{d}}$$

Pour obtenir les équations horaires du mouvement et l’équation de la trajectoire, nous allons utiliser la même démarche que pour celles d’un mouvement dans un champ de pesanteur.
Les coordonnées du champ électrique sont : $$\overrightarrow{E}=\left[\begin{array}{c}{E}_x=0\\ E_y=E\\ E_z=0\end{array}\right]$$ La particule subit la force électrique qui dépend du champ électrique : $\overrightarrow{F_e}=q\overrightarrow{E}$, avec $q$ la charge portée par la particule. Cette particule n’est soumise qu’au champ électrique.

Conditions initiales :

• Le vecteur position : $$\overrightarrow{O{G}_0}=\left[\begin{array}{c}{x}_0=0\\ y_0=0\\ z_0=0\end{array}\right]$$
• Le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_0}$ : Le champ électrique est perpendiculaire à l’axe $x$, on peut donc utiliser le même raisonnement que précédemment pour déterminer le vecteur vitesse à l’état initial.
  Donc le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_0}$ a pour coordonnées : $$\left[\begin{array}{c}{v}_{x0}=v_0\cos \alpha \\ v_{y0}=v_0\sin \alpha \\ v_{z0}=0\end{array}\right]$$

Expression du vecteur accélération :

Deuxième loi de Newton : $$\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$$ Or ici la seule force exercée est le champ électrique $$\overrightarrow{F_e}=q\overrightarrow{E}$$ Donc : $$\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{q}{m}}\overrightarrow{E}$$ Le vecteur accélération est de même sens que le champ électrique si la charge $q$ est positive, si elle est négative il a le sens inverse.
D’après les coordonnées du champ électrique : $$\overrightarrow{E}=\left[\begin{array}{c}{E}_x=0\\ E_y=E\\ E_z=0\end{array}\right]$$ On peut déterminer celles du vecteur accélération : $\overrightarrow{a}$ a pour coordonnées : $$\left[\begin{array}{c}{a}_x={\displaystyle \frac{q}{m}}{E}_x=0\\ a_y={\displaystyle \frac{q}{m}}{E}_y={\displaystyle \frac{q}{m}}E\\ a_z={\displaystyle \frac{q}{m}}{E}_z=0\end{array}\right]$$

Expression de l’équation horaire de la vitesse :

On calcule les primitives des composantes du vecteur $\overrightarrow{a}$ : $$\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_x=v_{x0}\\ v_y={\displaystyle \frac{q}{m}}Et+v_{y0}\\ v_z=v_{z0}\end{array}\right]$$ Or : $$\overrightarrow{v_0}=\left[\begin{array}{c}{v}_{x0}=v_0\cos \alpha \\ v_{y0}=v_0\sin \alpha \\ v_{z0}=0\end{array}\right]$$ Donc : $$\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_x=v_0\cos \alpha \\ v_y={\displaystyle \frac{q}{m}}Et+v_0\sin \alpha \\ v_z=0\end{array}\right]$$

Expression de l’équation horaire de position :

On calcule les primitives des composantes du vecteur $\overrightarrow{v}$ : $$\overrightarrow{OM}=\left[\begin{array}{c}x=(v_0\cos \alpha )t+x_0\\ y={\displaystyle \frac{q}{2m}}E{t}^2+(v_0\sin \alpha )t+y_0\\ z=z_0\end{array}\right]$$ Or : $$\overrightarrow{O{G}_0}=\left[\begin{array}{c}{x}_0=0\\ y_0=0\\ z_0=0\end{array}\right]$$ Donc : $$\overrightarrow{OM}=\left[\begin{array}{c}x=(v_0\cos \alpha )t\\ y={\displaystyle \frac{q}{2m}}E{t}^2+(v_0\sin \alpha )t\\ z=0\end{array}\right]$$ Ici aussi la coordonnée z est constamment nulle, cela signifie que le mouvement est plan.

Détermination de l’équation de la trajectoire :

L’équation de la trajectoire d’un système est la relation mathématique entre ses coordonnées.
On a : $$x=(v_0\cos \alpha )t$$ Donc : $$t={\displaystyle \frac{x}{v_0\cos \alpha }}$$ On peut maintenant remplacer $t$ dans l’expression de $y$ : $$y={\displaystyle \frac{q}{2m}}E{\left({\displaystyle \frac{x}{v_0\cos \alpha }}\right)}^2+v_0\sin \alpha {\displaystyle \frac{x}{v_0\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{qE}{2m(v_0\cos \alpha {)}^2}}{x}^2+\tan \alpha x$$ On a ainsi une équation du second degré qui est l’équation d’une parabole $y=a{x}^2+bx+c$ dont le coefficient $c$ est nul, ce qui signifie que la courbe passe par l’origine du repère. Le signe du coefficient $a$ dépend du signe de la charge, en fonction duquel varie donc l’orientation de la concavité de la parabole.

ASPECTS ENERGETIQUES

L’énergie cinétique est liée à la vitesse du système : $$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$$ Elle s’exprime en Joules (J), la masse en kg et la vitesse en $m\cdot s^{-1}$.
L’énergie potentielle dépend de la force exercée sur le système :

• Si on est dans un champ de pesanteur, la force exercée sera le poids. L’énergie sera donc l’énergie potentielle de pesanteur liée à l’altitude du système : $$E_{pp}=mgz$$ Elle s’exprime elle aussi en J, la masse en kg et l’altitude z, en m.
• Si on est dans un champ électrique, l’énergie sera l’énergie potentille électrique liée au potentiel électrique du système : $$E_{pe}=qV$$ Avec q la charge qui s’exprime en Coulomb (C) et V le potentiel qui s’exprime en Volt (V).

A partir de ces deux énergies on peut définir l’énergie totale du système, qui est l’énergie mécanique : $$E_m=E_c+E_p$$

Théorème de l’énergie cinétique : il permet de faire le lien énergétique en les forces sous leur forme de travail.

RAPPEL DE $1^{ère}$

La variation de l’énergie mécanique peut se définir par la somme des travaux des forces (seulement celles considérées comme non-conservatives c’est-à-dire qui modifient l’énergie du système) : $$\mathrm{\Delta }{E}_c=E_m(B)-E_m(A)=\mathrm{\Sigma }{W}_{AB}(\overrightarrow{f})$$ Dans le cas d’un champ électrique ou d’un champ de pesanteur uniforme, les forces exercées qui sont la force électrique ou le poids, sont des forces conservatives (elles n’ont pas d’impact sur l’énergie mécanique). Ainsi : $$\mathrm{\Delta }{E}_m=0$$ Ici l’énergie mécanique du système se conserve. Son énergie cinétique est complétement convertie en énergie potentielle, et inversement.

ACCÉLÉRATION LINÉAIRE D'UNE PARTICULE CHARGÉE

Un accélérateur linéaire est un condensateur constitué de deux plaques percées permettant l’entrée et la sortie d’une particule chargée électriquement. Le but est de l’accélérer en ligne droite. Un champ électrique uniforme de même direction que celle du mouvement rectiligne de la particule, est créé entre les plaques. Il va permettre une force suffisante pour augmenter la vitesse de la particule.

Le travail d’une force électrique est défini par : $$W_{AB}=\overrightarrow{F_e}\cdot \overrightarrow{AB}=F_e\cdot AB\cdot \cos \widehat{(\overrightarrow{F_e},\overrightarrow{AB})}$$ Or $\overrightarrow{F_e}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, donc l’angle est nul, et $$\cos \widehat{(\overrightarrow{F_e},\overrightarrow{AB})}=1$$ Ainsi : $$W_{AB}=F_e\cdot AB$$ Avec $F_e=qE$ et $AB=\text{la distance d}$
D’où : $$W_{AB}=qEd$$ Avec : $$E={\displaystyle \frac{U_{AB}}{d}}$$ Après simplification il en résulte : $$W_{AB}=q{U}_{AB}$$

3. MOUVEMENT DANS UN CHAMP GRAVITATIONNEL

Mouvements des planètes et des satellites

On se place dans le cas où on étudie le mouvement du centre de masse P d’une planète (ou d’un satellite) de masse m. Ce système est en orbite considérée circulaire autour d’un astre attracteur A de masse M.
Cette étude se fait dans un référentiel astrocentrique considéré comme galiléen et muni du repère de Frenet centré sur P.
La planète (ou le satellite) est soumise à la force gravitationnelle exercée par l’astre. Dans le repère de Frenet cette force s’exprime par : $$\overrightarrow{F_G}=G{\displaystyle \frac{mM}{r^2}}\overrightarrow{u_n}=m\overrightarrow{G}$$ La planète est soumise seulement à la force de gravitation exercée par l’astre, ainsi on peut appliquer la deuxième loi de Newton : $$\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$$ Or $$m\overrightarrow{G}=m\overrightarrow{a}$$ Donc : $$\overrightarrow{G}=\overrightarrow{a}$$ Ici $m_A=M$, on peut ainsi définir le vecteur accélération : $$\overrightarrow{a}=G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}\overrightarrow{u_n}$$ Dans le repère de Frenet centré sur P le vecteur accélération est défini par : $$\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{v^2}{r}}\overrightarrow{u_n}+{\displaystyle \frac{dv}{dt}}\overrightarrow{u_t}$$ En comparant avec l’expression trouvée précédemment, on détermine que : $${\displaystyle \frac{dv}{dt}}=0$$ Ce qui signifie que le vecteur vitesse est constant donc la valeur peut être déterminée car : $${\displaystyle \frac{v^2}{r}}=G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}$$ Ainsi on a : $$v=\sqrt{G{\displaystyle \frac{M}{r}}}$$ Et : $$\overrightarrow{v}=\sqrt{G{\displaystyle \frac{M}{r}}}\overrightarrow{u_t}$$

Les lois de Kepler

Première loi de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de masse d’une planète est une ellipse dont le centre de masse du Soleil est l’un des foyers. Une ellipse est une courbe plane définie comme l’ensemble des points P vérifiant : $$FP+F^{\prime }P=d+d^{\prime }=2a$$ F et F’ sont les foyers de l’ellipse et 2a correspond au grand axe de l’ellipse. Lorsque ces foyers sont confondus, alors l’ellipse devient un cercle de rayon r = a.

Deuxième loi de Kepler

Le segment de droite reliant les centres de masses du Soleil et de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. La valeur de la vitesse d’une planète le long de sa trajectoire elliptique autour du Soleil n’est pas constante ; plus la planète s’approche du Soleil, plus sa vitesse augmente.

Troisième loi de Kepler

La période de révolution T d’une planète est la durée qu’elle met pour faire un tour autour du Soleil : $$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}$$ On va remplacer $v$ par sa valeur déterminée précédemment : $$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{\sqrt{G\frac{M}{r}}}}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{GM}}}$$ $$T^2=4{\pi }^2{\displaystyle \frac{r^3}{GM}}$$ D’où : $${\displaystyle \frac{T^2}{r^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}=\text{ une constante car G et M sontconstantes.}$$ Avec r le rayon de la trajectoire.

4. MODELISER L’ECOULEMENT D’UN FLUIDE

La poussée d’Archimède

La poussée d’Archimède $F_p$ est la somme des forces pressantes exercées par un fluide sur la partie immergée d’un corps, solide ou fluide. C’est l’opposé du poids du fluide déplacé par ce corps. $$\overrightarrow{F_p}=-{\rho }_{fluide}{V}_{im}\overrightarrow{g}$$ Avec ${\rho }_{fluide}$ la masse volumique du fluide ($kg\cdot m^{-3}$), $V_{im}$ le volume immergé du corps ($m^3$) et $\overrightarrow{g}$ l’intensité de la pesanteur ($N\cdot k{g}^{-1}$).

Ecoulement d’un fluide en régime permanent

Un fluide s’écoule en régime permanent indépendant du temps si la valeur de la vitesse du fluide en toute position de l’écoulement est indépendante du temps. Le débit volumique s’exprime en $m^3\cdot s^{-1}$ et se définit par : $$D_v={\displaystyle \frac{V}{\mathrm{\Delta }t}}=Sv$$ Avec $V$ le volume du fluide ($m^3$) $V=lS$, $S$ la section de surface ($m^2$) traversée par le fluide et $l$ la distance parcourue ($m$) par le fluide durant la durée $\mathrm{\Delta }t$ ($s$), $v$ la vitesse d’un élément du fluide ($m\cdot s^{-1}$).
Le débit volumique se conserve au cours de l’écoulement d’un fluide incompressible en régime permanent indépendant du temps, c’est donc une constante : $$D_y=\text{constante}$$

La relation de Bernoulli

Elle est vérifiée le long d’une ligne de courant pour un fluide incompressible qui s’écoule en régime permanent indépendant du temps. Elle relie, en toute position du fluide appartenant à une même ligne de courant, la pression $P$, la valeur $v$ de la vitesse et la coordonnée verticale $z$ de la position. Et elle permet de calculer $P$, $v$ ou $z$ quand les deux autres sont connues. $${\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2+\rho gz+P=\text{constante}$$

Effet Venturi

On peut appliquer la relation de Bernoulli à l’écoulement d’un fluide incompressible dans un tube dont la section se resserre ou s’évase. Prenons le cas où la section S diminue. Le débit volumique est conservé donc la valeur de la vitesse augmente : $$D=Sv$$
Et inversement, si la section $S$ augmente, alors la vitesse du fluide diminue. $${\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_A^2+\rho g{z}_A+P_A={\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_B^2+\rho g{z}_B+P_B=\text{constante}$$ Or ici : $$z_A=z_B$$ Après simplification on retrouve : $${\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_A^2+P_A={\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_B^2+P_B=\text{constante}$$ Cette expression met en évidence que si la vitesse du fluide augmente, alors sa pression diminue : c’est l’effet Venturi.