Matières

ON VOUS DONNE LE « LA »

Un diapason à fourche est constitué d’une pièce métallique en forme de U, à la base de laquelle est fixée une tige qui sert à le tenir à la main ou à le fixer à un support. Lorsqu’on frappe le diapason, il « sonne ». Cet objet a été inventé au début du $XVIII^{ème}$ siècle par le luthiste anglais John Shore. Il servait alors à accorder tous les instruments d’un orchestre entre eux afin qu’ils jouent « juste ». La note de référence utilisée était souvent le « La3 » soit un son de fréquence 440 Hz.

Données :

• Intensité sonore de référence : $I_0=1,0 \cdot 10^{-12} W \cdot m^{-2}$

• 1 octet = 8 bits

1. Caractéristiques du son produit par le diapason

On enregistre à l’aide d’un microphone relié à un dispositif d’enregistrement le signal sonore émis par un diapason, tenu à la main (sans caisse de résonance). On obtient le signal suivant (figure 1).

1.1. Dans ces conditions d’utilisation du diapason, le son obtenu est-il pur ? Justifier.

1.2. Le constructeur annonce que le diapason étudié est en acier et qu’il émet un La3, soit un son de fréquence 440 Hz. En exploitant au mieux l’enregistrement de la figure 1, estimer la période de ce signal. Le résultat est-il cohérent avec la donnée annoncée par le constructeur ? Justifier.

2. Numérisation d’un signal analogique

On enregistre le son émis par le diapason à l’aide d’un micro relié à un ordinateur. La tension aux bornes du micro est un signal analogique qui sera converti en signal numérique avant d’être stocké en mémoire. Un logiciel permet d’obtenir son spectre.

2.1. Parmi les spectres ci-dessous (figure 2), lequel correspond au son enregistré ? Justifier.

2.2. Comment distingue-t-on un signal analogique d’un signal numérique ?

La première étape de la conversion d’un signal analogique en signal numérique est appelée « échantillonnage ». Cette étape consiste à prélever à intervalle de temps régulier des valeurs du signal analogique. Cet intervalle de temps régulier est la période d’échantillonnage $T_e$. Après quantification, chacune des valeurs échantillonnées se voit attribuer un nombre binaire codé sur N bits : c’est le codage.
Le logiciel d’acquisition utilisé permet de choisir la durée totale $\Delta t$ de l’enregistrement, la fréquence d’échantillonnage $f_e$ ainsi que le nombre N. Pour faciliter le transfert des données, on impose de réaliser un enregistrement dont la taille ne doit pas dépasser 500 ko.

2.3. Montrer qu’en choisissant $\Delta t = 2,0 s$, $f_e = 44 kHz$ et $N = 32 bits$, la condition sur la taille du fichier est respectée.

2.4. Quel est l’intérêt d’augmenter la valeur de la fréquence d’échantillonnage ? Quel serait l’inconvénient ?

3. Émission du son produit par un diapason à 440 Hz

L’émission d’un son par un diapason est un phénomène complexe qui n’a été correctement décrit qu’au milieu du $XX^e$ siècle.

Afin d’étudier la manière dont le son est émis autour d’un diapason, on dispose de deux sonomètres en $B_1$ et $B_2$ à 1,0 m du diapason (figures 3a et 3b sans souci d’échelle). Après avoir frappé le diapason, on relève au même instant les niveaux d’intensité sonore mesurés par chacun des sonomètres placés en $B_1$ et $B_2$ situés à 1,0 m du diapason. On obtient $L_{B_1} = 59 dB$ et $L_{B_2} = 42 dB$.

3.1. Soient $I_{B_1}$ et $I_{B_2}$ les intensités sonores mesurées à l’instant considéré aux points $B_1$ et $B_2$, vérifier que $I_{B_1}$ et $I_{B_2}$ sont reliées approximativement par la relation : $$I_{B_2}=\dfrac{I_{B_1}}{50}$$

On étudie le niveau d’intensité sonore à un mètre du diapason à 440 Hz en tournant autour de celui-ci. La position du sonomètre est repérée par l’angle $\theta$ dont l’origine correspond au plan du diapason (figure 4a).

La courbe (figure 4b) représente l’atténuation de l’intensité sonore en fonction de l’angle $\theta$. L’atténuation de l’intensité sonore est donnée par la relation : $L – L_{max}$ avec $L$, le niveau d’intensité sonore dans la direction repérée par l’angle $\theta$ et $L_{max}$ le niveau d’intensité sonore maximal.

3.2. Montrer quantitativement que les deux mesures précédentes, $L_{B_1}$ et $L_{B_2}$, sont cohérentes avec la courbe de la figure 4b.

CORRECTION

1.1. Dans ces conditions d’utilisation du diapason, le son obtenu est-il pur ? Justifier.

Un son pur est un son caractérisé par une onde parfaitement sinusoïdale, or ce n’est pas le cas du signal représenté sur la figure 1, donc le son n’est pas pur.

1.2. En exploitant au mieux l’enregistrement de la figure 1, estimer la période de ce signal. Le résultat est-il cohérent avec la donnée annoncée par le constructeur ? Justifier.

On peut déterminer graphiquement que 4 périodes T de l’onde correspond à 9 ms.

Nous avons donc $T=\dfrac{9}{4}=2,25 ms=2,5 \cdot 10^{-3} s$.

ATTENTION !

Nous savons que la fréquence est l’inverse de la période : $f=\dfrac{1}{T}$.
Nous pouvons donc la calculer facilement : $$f=\dfrac{1}{2,5 \cdot 10^{-3}}= 444 Hz$$
Le résultat trouvé est proche de celui annoncé par le constructeur, il est donc cohérent.

2.1. Parmi les spectres ci-dessous (figure 2), lequel correspond au son enregistré ? Justifier.

Nous avons vu à la question précédente que la fréquence du diapason est de 444 Hz. Or sur le spectre c le pic de fréquence fondamentale est sorti à 218 Hz, ce n’est donc pas le bon spectre.
Pour les spectres a et b, les deux ont un pic fondamental aux alentours de 440 Hz, ce qui correspond. Mais on remarque que le spectre b n’a qu’un seul pic, ce qui est caractéristique d’un son pur. Or nous avons vu dans la première partie que le son obtenu n’était pas pur.
Pour conclure, le spectre correspondant ne peut être que le spectre a.

2.2. Comment distingue-t-on un signal analogique d’un signal numérique ?

Un signal analogique est un signal qui varie en continu dans le temps (graphiquement représenté par une fonction continue).
Un signal numérique, lui, varie en discontinu au cours du temps. On dit qu’il est échantillonné car il ne prend que des valeurs discrètes (c’est-à-dire qu’elles ne sont pas toutes accessibles). C’est un ensemble discret de valeurs. Le pas (ou résolution) du signal sépare deux valeurs discrètes.

2.3. Montrer qu’en choisissant $\Delta t = 2,0 s$, $f_e = 44 kHz$ et $N = 32 bits$, la condition sur la taille du fichier est respectée.

Chaque seconde il y a $\dfrac{n}{T_e}$ bits qui sont transmis. Or on sait que l’enregistrement dure $\Delta t= 2,0 s$.
Donc le nombre d’échantillons est $n = f_e \cdot \Delta t = 44 \cdot 10^3 \cdot 2,0 = 8,8 \cdot 10^4 $ échantillons.
On sait qu’un octet correspond à 8 bits. Dans l’énoncé on nous donne N = 32 bits, donc chaque échantillon sera codé sur 32 bits qui correspondent à 4 octets.
Donc la taille totale de tous les échantillons : $4 \cdot 8,8 \cdot 10^4 = 3,52 \cdot 10^5 octets = 352 ko$.
Cette valeur trouvée est bien inférieure à 500 ko, donc la condition sur la taille du fichier est respectée.

2.4. Quel est l’intérêt d’augmenter la valeur de la fréquence d’échantillonnage ? Quel serait l’inconvénient ?

Si on augmente la fréquence d’échantillonnage cela signifie que l’on prend plus de valeurs dans un intervalle de temps, cela a pour conséquence d’augmenter la qualité du signal enregistré. Mais cela a aussi pour conséquence d’augmenter la taille du fichier.

3.1. Soient $I_{B_1}$ et $I_{B_2}$ les intensités sonores mesurées à l’instant considéré aux points $B_1$ et $B_2$, vérifier que $I_{B_1}$ et $I_{B_2}$ sont reliées approximativement par la relation : $$I_{B_2}=\dfrac{I_{B_1}}{50}$$

Rappel :

• $10^{log{x}}=x$

On sait que: $$L=10 \log{\frac{I}{I_0}}$$ Donc: $$I=10^{\frac{L}{10}} \cdot I_0 $$ Avec $L_{B_1}=59 dB$ et $L_{B_2}=59 dB$

$$\dfrac{I_{B_1}}{I_{B_2}}=\dfrac{10^{\frac{L_{B_1}}{10}} \cdot I_0}{10^{\frac{L_{B_2}}{10}} \cdot I_0}=\dfrac{10^{5,9}}{10^{4,2}}=50$$

3.2. Montrer quantitativement que les deux mesures précédentes, $L_{B_1}$ et $L_{B_2}$, sont cohérentes avec la courbe de la figure 4b.

L’atténuation est nulle en deux angles $\theta = 0°$ et $\theta = 180°$. D’après les figures 3b et 4a, à $\theta = 0°$ c’est le point $B_1$ de niveau d’intensité sonore $L_{B_1}$. Si l’atténuation est nulle cela signifie que le niveau d’intensité sonore est maximal : $$A=L_{B_1}-L_{max}=0$$ $$L_{B_1}=L_{max}=59 dB$$ D’après les figures 3b et 4a, à $\theta = 90°$ c’est le point $B_2$ de niveau d’intensité sonore $L_{B_2}$. Si on calcule l’atténuation : $$A=L_{B_2}-L_{max}$$ $$A=42-59=17 dB$$ Ce résultat est cohérent avec le graphique donné dans la figure 4b. Les deux mesures sont donc bien cohérentes.

* Source : session 2019 métropole, exercice III.