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ISOLATION THERMIQUE D’UNE HABITATION

La réduction de la consommation d’énergie est aujourd’hui un des enjeux majeurs en France. Les logements représentant près de 43% de cette consommation, depuis plus de dix ans, des efforts ont été réalisés d’une part pour améliorer l’analyse des échanges thermiques dans l’habitation et l’isolation des bâtiments anciennement construits et, d’autre part, pour construire de nouvelles habitations avec des normes de plus en plus drastiques au niveau de la performance énergétique.

Partie 1 : Bilan énergétique d’une habitation

Schématisation des principaux transferts thermiques d’une habitation durant la période d’hiver :

1. On prend comme système l’habitation tout entière.

1.1. Exprimer le transfert thermique $Q_H$ associé de ce système.

1.2. Précisez les signes de chaque membre de $Q_H$.

1.3. Sachant que le transfert thermique solaire ne dépasse pas 20% de la valeur absolue de la somme des autres transferts, prévoir comment va varier qualitativement l’énergie interne $U_H$ de l’habitation.

2. En été la température moyenne de l’air extérieur est supérieure à celle de l’habitation, qui est elle-même supérieure à celle du sol. Préciser de nouveau les signes de chaque membre de $Q_H$.

3. On prend maintenant comme système l’air contenu dans la pièce de l’habitation en hiver.

3.1. Exprimer le transfert thermique $Q_A$ associé au système.

3.2. Préciser les signes de chaque membre de $Q_A$.

3.3. Exprimer la variation d’énergie interne $\Delta U_A$ du système.

3.4. La variation d’énergie interne du système « air contenu dans la pièce » peut aussi s’écrire sous la forme $\Delta U_A=C_A(T_2-T_1)$ où $C_A$ est la capacité thermique de l’air, $T_2$ la température finale et $T_1$ la température initiale.
Exprimer le transfert thermique $Q_{chauffage}$ que doit fournir le chauffage si l’on désire maintenir la température de la pièce constante au cours du temps.

Partie 2 : Etude d’un double vitrage

Le double vitrage est composé de deux vitres de mêmes dimensions, séparées par une couche d’air : ceci permet d’améliorer l’isolation thermique des habitations.
Pour mettre en évidence l’intérêt d’un tel dispositif, on réalise une expérience en mettant en contact une des faces vitrées avec une surface thermostatée (dont la température est constante et peut-être manuellement fixée) de température $T_0$, et en mesurant la température $T_1$ de la seconde face vitrée, qui est au contact de l’air ambiant. On reproduit la même expérience en remplaçant le double vitrage par une vitre simple de même épaisseur e que le double vitrage.
Les expériences sont réalisées sur la même durée $\Delta t$ de sorte que le transfert thermique $Q$ à travers les deux systèmes soit le même. Pour une épaisseur $e$ égale à 30mm, on obtient les résultats suivants : $$\begin{array}{|r|r|}\hline \text{Expérience 1 (double vitrage)} & T_0=5,0^oC & T_{\text{1 simple}}=20,0^oC \\ \hline \text{Expérience 2 (simple vitrage)} & T_0=5,0^oC & T_{\text{1 double}}=18,5^oC \\ \hline \end{array}$$

La valeur absolue du flux thermique $\Phi_Q$ traversant les systèmes, de la face thermostatée vers l’air ambiant, est égale à $1500 W$.

1. Exprimer la résistance thermique $R_{th}$ en fonction des températures ($T_0$ et $T_1$) et du flux thermique $\Phi_Q$.
Sans calcul, montrer pourquoi la résistance thermique du double vitrage est supérieure à celle du vitrage simple.

2. Calculer la résistance thermique de chacun des dispositifs.

3. On réalise une série d’expériences en remplaçant l’air dans le double vitrage par d’autres gaz (qui sont des gaz rares, représentant moins de 1% de l’atmosphère en volume). On obtient les résultats suivants :

$$\begin{array}{|r|r|}\hline \text{Expérience A (air)} & T_0=5,0^oC & T_A=20,0^oC \\ \hline \text{Expérience B (argon)} & T_0=5,0^oC & T_B=20,9^oC \\ \hline \text{Expérience C (krypton)} & T_0=5,0^oC & T_C=20,5^oC \\ \hline \end{array}$$

Peut-il être avantageux de remplacer l’air par un autre gaz ? Quel inconvénient cela peut-il avoir sachant qu’isoler un des constituants de l’air est coûteux ?

Partie 3 : Albedo terrestre

En fonction du matériau utilisé pour réaliser le toit, la proportion de puissance solaire incidente absorbée peut grandement varier.

$$\begin{array}{|r|r|}\hline \text{Matériau} & \text{tuile rouge} & \text{aluminium} & \text{ardoise} & \text{zinc} \\ \hline \text{Puissance solaire absorbée} & 70\% & 15\% & 85\% & 40\% \\ \hline \end{array}$$

Le flux solaire incident au niveau du sol $F_{sol}$ est égal à 198 $W \cdot m^{-2}$.
L’albedo moyen terrestre est égal à 30%.

1. Définir ce qu’est l’albedo.

2. Déterminer l’albedo de chacun des matériaux.

3. Calculer les puissances réfléchies pour une surface égale à 2,0 m^2 de chacun des matériaux.

4. Quel matériau utiliser pour récupérer un maximum de puissance solaire ?

CORRECTION

Partie 1 : Bilan énergétique d’une habitation

1. On prend comme système l’habitation tout entière.

1.1. Exprimer le transfert thermique $Q_H$ associé de ce système.

Le transfert thermique de l’habitation comprend tous les échanges thermiques du système étudié avec le milieu extérieur : $$Q_H=Q_{toit}+Q_{mur}+Q_{ouverture}+Q_{sol}+Q_{soleil}$$

1.2. Précisez les signes de chaque membre de $Q_H$.

On sait que lorsque le système reçoit de la chaleur, le transfert thermique est positif et lorsque le système perd de la chaleur, le transfert thermique est négatif.
A l’aide du schéma qui nous donne l’orientation des transferts thermiques d’une habitation pendant la période d’hiver, on détermine que : $Q_{toit} < 0$

• $Q_{mur} < 0$
• $Q_{ouverture} < 0$
• $Q_{sol} < 0$
• $Q_{soleil} > 0$

1.3. Sachant que le transfert thermique solaire ne dépasse pas 20% de la valeur absolue de la somme des autres transferts, prévoir comment va varier qualitativement l’énergie interne $U_H$ de l’habitation.

Le système étudié est l’habitation, elle n’est soumise qu’à des transferts d’énergies mais pas de matière. Ce qui signifie que le travail est nul. On peut donc appliquer le premier principe de la thermodynamique pour exprimer la variation d’énergie interne : $$\Delta U=Q_H$$ Or le transfert thermique solaire ne dépasse pas 20% de la valeur absolue de la somme des autres transferts, qui sont tous négatifs. On en conclue que le transfert thermique de l’habitation $Q_H$ est négatif. Ainsi la variation d’énergie interne est elle aussi négative.
Et : $$\Delta U=U_{final}-U_{initial}$$ Donc si $\Delta U < 0$, alors : $$U_{final} < U_{initial}$$ En conclusion, l’habitation va perdre en énergie interne.

2. En été la température moyenne de l’air extérieur est supérieure à celle de l’habitation, qui est elle-même supérieure à celle du sol. Préciser de nouveau les signes de chaque membre de $Q_H$.

Les transferts thermiques entre deux corps vont du corps le plus chaud vers celui de le plus froid. Il nous est dit que la température moyenne de l’air extérieur en été est supérieure à celle de l’habitation, on peut donc déjà déterminer que :

• $Q_{toit} > 0$
• $Q_{mur} > 0$
• $Q_{ouverture} > 0$
• $Q_{soleil} > 0$
• La température moyenne de l’habitation est supérieure à celle du sol, ainsi : $Q_{sol} < 0$

3. On prend maintenant comme système l’air contenu dans la pièce de l’habitation en hiver.

3.1. Exprimer le transfert thermique $Q_A$ associé au système.

De la même façon que nous avons répondu à la question 1.1. : $$Q_A=Q_{plafond}+Q_{mur}+Q_{ouverture}+Q_{sol}+Q_{chauffage}+Q_{homme}+Q_{éclairage}$$

3.2. Préciser les signes de chaque membre de $Q_A$.

De la même façon que nous avons répondu à la question 1.2. :

• $Q_{plafond} < 0$
• $Q_{mur} < 0$
• $Q_{ouverture} < 0$
• $Q_{sol} < 0$
• $Q_{chauffage} > 0$
• $Q_{homme} > 0$
• $Q_{éclairage} > 0$

3.3. Exprimer la variation d’énergie interne $\Delta U_A$ du système.

Le système étudié est l’air contenu dans la pièce de l’habitation en hiver, il est soumis seulement à des transferts d’énergie mais pas de matière. Ce qui signifie que le travail est nul. On peut donc appliquer le premier principe de la thermodynamique tel que : $$\Delta U_A=Q_A$$

3.4. La variation d’énergie interne du système « air contenu dans la pièce » peut aussi s’écrire sous la forme $\Delta U_A=C_A(T_2-T_1)$ où $C_A$ est la capacité thermique de l’air, $T_2$ la température finale et $T_1$ la température initiale.
Exprimer le transfert thermique $Q_{chauffage}$ que doit fournir le chauffage si l’on désire maintenir la température de la pièce constante au cours du temps.

La variation d’énergie interne peut s’exprimer en fonction de la variation de température et de la capacité thermique massique : $$\Delta U=c \cdot m \cdot \Delta T$$ En faisant l’analogie entre les deux expressions de la variation d’énergie interne $\Delta U_A$ on peut déterminer que : $$Q_A=c \cdot m \cdot \Delta T$$ Or on cherche à maintenir la température constante, ainsi $\Delta T$ doit être nul.
Donc : $$Q_A=0$$ Et : $$Q_A=Q_{plafond}+Q_{mur}+Q_{ouverture}+Q_{sol}+Q_{chauffage}+Q_{homme}+Q_{éclairage}$$ Si on isole le transfert thermique du chauffage on obtient : $$Q_{chauffage}=-( Q_{plafond}+Q_{mur}+Q_{ouverture}+Q_{sol}+Q_{homme}+Q_{éclairage})$$

Partie 2 : Etude d’un double vitrage

1. Exprimer la résistance thermique $R_{th}$ en fonction des températures ($T_0$ et $T_1$) et du flux thermique $\Phi_Q$.
Sans calcul, montrer pourquoi la résistance thermique du double vitrage est supérieure à celle du vitrage simple.

La résistance thermique quantifie l’opposition d’un milieu à un flux thermique. Elle s’exprime en $K \cdot W^{-1}$. Elle est définie par la différence de température entre la vitre de surface thermostatée, au point 0, et la deuxième vitre, au point 1, sur le flux thermique orienté du point 0 au point 1 : $$R_{th}=\dfrac{\theta_0 - \theta_1}{\Phi}$$ D’après le tableau de l’énoncé, on remarque que la température $T_1$ mesurée est supérieure pour le double vitrage que pour le simple vitrage. Ce qui signifie que la différence de température est plus importante pour le double vitrage que pour le simple vitrage. Donc pour un flux constant, la résistance thermique du double vitrage sera plus grande que celle du simple vitrage.

2. Calculer la résistance thermique de chacun des dispositifs.

Le flux est défini par : $$\Phi=\dfrac{\theta - \theta_1}{R_{th}}$$

La résistance thermique étant positive et $T_0 < T_1$ le flux thermique est donc négatif.

• Résistance thermique du double vitrage : $$R_{th}(dv)=\dfrac{\theta_0 -\theta_1}{\Phi}=\dfrac{5,0-20,0}{-1500}=1,0 \cdot 10^{-2} K \cdot W^{-1}$$
• Résistance thermique du simple vitrage : $$R_{th}(sv)= \dfrac{\theta_0 -\theta_1}{\Phi}=\dfrac{5,0-18,5}{-1500}=9,0 \cdot 10^{-3} K \cdot W^{-1}$$

3. Peut-il être avantageux de remplacer l’air par un autre gaz ? Quel inconvénient cela peut-il avoir sachant qu’isoler un des constituants de l’air est coûteux ?

D’après le tableau des expériences donné, la température $T_1$ est supérieure avec l’utilisation du krypton et encore plus avec l’utilisation de l’argon. Ce qui signifie que la résistance thermique est plus importante avec le krypton et l’argon. Il serait donc avantageux de les utiliser. Mais ces gaz représentent moins de 1% du volume de l’atmosphère, il va donc être extrêmement coûteux de les extraire et l’isoler.

Partie 3 : Albedo terrestre

1. Définir ce qu’est l’albedo.

L’albedo $\alpha$ est une grandeur sans unité. Elle caractérise la capacité d’une surface à renvoyer le rayonnement qui lui est transmis. Elle est définie par : $$\alpha=\dfrac{|P_r|}{P_i}$$ Avec $P_r$ la puissance renvoyer par la surface, et $P_i$ la puissance incidente sur cette surface.

2. Déterminer l’albedo de chacun des matériaux.

L’albedo peut également se définir comme le pourcentage de puissance solaire réfléchie, qui revient à la totalité de la puissance solaire moins le pourcentage de puissance solaire incidente :

• Tuile rouge : $\alpha = 100 – 70% = 30%$
• Aluminium : $\alpha = 100 – 15% = 85%$
• Ardoise : $\alpha = 100 – 85% = 15%$
• Zinc : $\alpha = 100 – 40% = 60%$

3. Calculer les puissances réfléchies pour une surface égale à 2,0 m^2 de chacun des matériaux.

La puissance réfléchie est définie par : $P_{réfléchie}=\Phi \alpha S=198 \alpha \cdot 2,0$

• Tuile rouge : $P_{réfléchie} = 198 \cdot 0,30 \cdot 2,0 = 1,2 \cdot 10^2 W$
• Aluminium : $P_{réfléchie} = 198 \cdot 0,85 \cdot 2,0 = 3,4 x\cdot 10^2 W$
• Ardoise : $P_{réfléchie} = 198 \cdot 0,15 \cdot 2,0 = 5,9 \cdot 10^1 W$
• Zinc : $P_{réfléchie} = 198 \cdot 0,6 \cdot 2,0 = 2,4 \cdot 10^2 W$

4. Quel matériau utiliser pour récupérer un maximum de puissance solaire ?

L’ardoise est le matériau qui réfléchit le moins de puissance solaire, et donc qui en absorbe le plus. Donc c’est ce matériau qu’il faut utiliser pour récupérer un maximum de puissance solaire.

* Source : énoncé tiré d’annabac.