Matières

L'ENERGIE - CONVERSIONS ET TRANSFERTS

I. DECRIRE UN SYSTEME THERMODYNAMIQUE

EXEMPLE DU MODELE DU GAZ PARFAIT

Un système est un ensemble d’entités qui appartiennent à un domaine de l’espace. Ce qui n’est pas le système constitue le milieu extérieur.
L’état d’un système est défini à un instant donné, on peut le décrire macroscopiquement au moyen de grandeurs physiques telles que la pression $P$, la quantité de matière $n$, la température $T$ ou le volume $V$.
A l’échelle microscopique, un gaz est modélisé par un ensemble d’entités (molécules ou atomes) en mouvement désordonné. Un gaz est dit « parfait » si la taille de ces entités est négligeable devant la distance qui les sépare et si elles n’interagissent pas entre elles.
L’équation d’état des gaz parfaits relie différentes grandeurs macroscopiques qui caractérisent un gaz. Elle est définie par : $$P V = n R T$$ Avec :

• $P$ = la pression du gaz (Pa)
• $V$ = le volume du gaz ($m^3$)
• $n$ = la quantité de matière du gaz (mol)
• $T$ = la température en kelvin (K)
• $R$ la constante des gaz parfaits $R = 8,314 Pa \cdot m^3 \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$

On peut relier qualitativement les valeurs des grandeurs macroscopiques mesurées (température, pression, masse volumique) aux propriétés du système à l’échelle microscopique :

• On mesure une température $T$ (K) où le gaz parfait est au repos : les entités composant le gaz ont un mouvement désordonné et n’ont pas d’interaction entre elles (hormis les chocs entre elles).
• On mesure une pression faible : les entités composant le gaz n’ont pas de chocs entre elles.
• On mesure une masse volumique très faible : les entités composant le gaz occupent un très grand volume, elles sont donc très éloignées les unes des autres.

Limites du modèle du gaz parfait :

II. EFFECTUER DES BILANS D’ENERGIE SUR UN SYSTEME
  PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE.

ENERGIE INTERNE D’UN SYSTEME

L’énergie interne $U$ regroupe deux formes énergétiques trouvant leur origine au sein d’un même système :

• L’énergie cinétique microscopique (due à l’agitation thermique des particules)
• L’énergie potentielle issue de toutes les forces internes du système (interactions intermoléculaires et intramoléculaires).

Cette énergie n’est pas mesurable, seule la variation $\Delta U$ peut être déterminée.
L’énergie totale du système macroscopique est la somme de son énergie mécanique macroscopique et de son énergie interne : $$E_{TOT}=E_c+E_p+E_U=E_m+E_U$$ La variation de cette énergie totale revient donc à la somme de la variation de l’énergie mécanique et de la variation de l’énergie interne : $$\Delta E_{TOT}=\Delta E_m + \Delta U$$

TRANSFERTS D’ENERGIE

• Le travail $W$ : transfert d’énergie ordonné à l’échelle macroscopique
• Le transfert thermique (de chaleur) $Q$ : transfert d’énergie désordonné à l’échelle microscopique entre le système et l’extérieur. Il va du corps le plus chaud vers celui le plus froid. Macroscopiquement il résulte à une différence de température ou à un changement d’état physique du système.

Par convention, ces transferts d’énergie sont positifs s’ils sont reçus par le système, négatifs s’ils sont libérés par le système. Ce sont des grandeurs d’échanges qui s’expriment en Joules.

PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE ET TRANSFERTS D’ENERGIE

La variation d’une grandeur d’état ne dépend que des états initial et final (donc indépendante du chemin suivi). Le premier principe de la thermodynamique relie la variation d’énergie interne d’un système avec les transferts d’énergie.
Pour un système fermé (qui échange de l’énergie mais pas de matière), la variation $\Delta U$ de ce système est liée aux transferts d’énergie de chaleur $Q$ et de travail $W$ réalisés entre le milieu extérieur et le système : $$\Delta U=Q+W$$ Elle s’exprime en Joules.

CAPACITE THERMIQUE ET ENERGIE INTERNE D’UN SYSTEME INCOMPRESSIBLE

La capacité thermique massique $c_m$ est l’énergie nécessaire pour augmenter 1 kg d’un système incompressible de 1 K. Elle s’exprime en $J \cdot K^{-1} \cdot kg^{-1}$. La capacité thermique $c$ est définie par : $$c=\dfrac{c_m}{m}$$
Avec $m$ la masse du système incompressible (en kg).
Lorsqu’on varie la température d’un système incompressible, la variation de son énergie interne est définie par : $$\Delta U=c \cdot m \cdot \Delta T$$

• Si on chauffe le système : $\Delta U > 0 $
• Si on refroidit le système : $\Delta U < 0 $

MODES DE TRANSFERT THERMIQUE

Un transfert thermique se fait d’un corps chaud vers un corps froid, sans travail de manière spontanée et irréversible jusqu’à l’équilibre entre les températures des deux corps.
Plusieurs modes :

• Conduction : transfert thermique sans transport ou déplacement de matière (principalement dans les solides).
• Convection : transfert thermique dans un fluide, avec transport et déplacement de matière.
• Rayonnement : transfert thermique dû à absorption ou à l’émission d’ondes électromagnétiques (photons) par la matière. Peut se propager dans le vide.

FLUX THERMIQUE

Lors de la conduction, on appelle flux thermique le transfert thermique par unité de temps. Il s’exprime en Watt et est défini par : $$\Phi = \dfrac{Q}{\Delta t}$$ Avec $Q$ le transfert thermique (en J) et $\Delta t$ la durée du transfert (en s).
Comme pour le transfert thermique, par convention, le flux thermique est positif s’il est reçu par le système, négatif s’il est libéré par le système.

RESISTANCE THERMIQUE

La résistance thermique quantifie l’opposition d’un milieu à un flux thermique. Elle s’exprime en $K \cdot W^{-1}$. Elle est définie par la différence de température entre un point 1 et un point 2, sur le flux thermique orienté du point 1 au point 2 : $$R_{th}=\dfrac{T_1-T_2}{\Phi}$$ Le flux thermique peut donc s’écrire : $$\Phi=\dfrac{T_1-T_2}{R_{th}}$$

BILAN THERMIQUE DU SYSTEME TERRE + ATMOSPHERE

Le Soleil et la Terre sont assimilés à des corps noirs sphériques, incompressibles, échangeant de l’énergie par rayonnement mais pas de matière avec l’extérieur. On est en régime permanent stationnaire et la température du système est considérée comme constante, donc le système est à l’équilibre thermique : $\Delta U=0$
A partir du premier principe de la thermodynamique : $$\Delta U=Q_T+Q_R+Q_E$$ Donc : $$Q_T+Q_R+Q_E=0$$ Si on divise par $\Delta T$, on retrouve l’expression des flux thermiques (ou puissances thermiques) : $$P_T+P_R+P_E=0$$
Loi de Stefan-Boltzmann
La puissance par unité de surface $p$ émise par un corps noir est liée à sa température par la relation : $$p=\sigma T$$ Avec $\sigma=5,67 \cdot 10^{-8} W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}$ la constante de Stefan-Boltzmann.
On utilise cette loi en considérant le système {Terre + atmosphère} comme un corps noir afin de déterminer la puissance émise par le système en fonction de la température de la Terre : $$p_E=\sigma T_T^4$$ Avec $p_E < 0$
A partir de cette expression on peut isoler la température de la Terre : $$T_T=\left(\dfrac{p_T+p_R}{\sigma}\right)^{\frac{1}{4}}$$

L’albedo $\alpha$ est une grandeur sans unité. Elle caractérise la capacité d’une surface à renvoyer le rayonnement qui lui est transmis. Elle est définie par : $$\alpha=\dfrac{|P_r|}{P_i}$$ Avec $P_r$ la puissance renvoyer par la surface, et $P_i$ la puissance incidente sur cette surface.
La température terrestre moyenne augmente avec l’effet de serre et diminue avec l’albédo.
La Terre émet des radiations IR vers l’atmosphère, dont les gaz qui la composent vont les absorber et les renvoyer vers la Terre : c’est l’effet de serre.

LOI PHENOMENOLOGIQUE DE NEWTON

On se place dans le cas d’étude d’un fluide incompressible et au repos macroscopiquement. On suppose que le seul transfert thermique est la convection dans un fluide.
La loi de Newton défini l’évolution temporelle du flux en fonction de $h$ le coefficient d’échange convectif (propre à chaque système), $S$ la surface d’échange du système et la différence de température entre le système $\theta$ et le milieu extérieur (thermostat) $\theta_e$ : $$\Phi = h S (\theta_e - \theta)$$

On applique le premier principe de thermodynamique à notre système : $$\Delta U = Q+W$$ Or comme il n’y a que des échanges par transfert thermique, le travail est nul, ainsi on obtient : $$\Delta U=Q$$ Le fluide est supposé incompressible, alors la variation d’énergie interne est proportionnelle à la variation de température : $$\Delta U=c \cdot m \cdot \Delta T$$ Le flux thermique est associé à une vitesse, il est donc toujours positif. Si on se place dans le cas d’une perte de chaleur par le système alors $Q < 0$. Et si on se place dans le cas d’un gain de chaleur par le système alors $Q > 0$.
Le flux thermique est défini par : $$\Phi=\dfrac{Q}{\Delta t}$$ En appliquant la loi de Newton on obtient : $$h S (T_e-T)=\dfrac{c \cdot m \cdot \Delta T}{\Delta t}$$ Donc : $$\dfrac{\Delta T}{\Delta t}=\dfrac{hS}{cm}(T_e-T)$$ Or si $\Delta t$ tend vers 0, alors la limite de $\frac{\Delta T}{\Delta t}$ est égale à la dérivée de la température par rapport au temps : $$\dfrac{dT}{dt}=-\dfrac{hS}{cm}T+\dfrac{hS}{cm}T_e$$ Il s’agit d’une équation différentielle de premier ordre.
Pour $y’ = ay + b$ une équation différentielle de premier ordre, la solution est : $$y = K e^{ax}-\dfrac{b}{a}$$ Ici : $$a=-\dfrac{hS}{cm}$$ $$b=\dfrac{hS}{cm}T_e$$
Et la variable $y$ est la température $T$
Donc les solutions de l’équation différentielle sont de la forme : $$T(t)=Ke^{-\frac{hS}{cm}t}+T_e$$
Pour déterminer la constante K, il faut utiliser les conditions initiales de la température. A $t=0 s$, la température du système est la température initiale, donc $T(t=0) = T_i$.
Et : $$T_i=Ke^{-\frac{hS}{cm} \cdot 0}+T_e$$ Or : $$e^0=1$$ Donc : $$K=T_i – T_e$$ Enfin, la solution de l’équation différentielle est : $$T(t)=(T_i-T_e)e^{-\frac{hS}{cm}t}+T_e$$