VITRAGE
Une pièce d’habitation possède une baie vitrée de surface $S = 8,0 m^2$ en contact avec l’air extérieur de la pièce se font à travers la surface de la baie vitrée. La température de l’air extérieur $T_e= 273 K$ est constante. La pièce est chauffée par un radiateur électrique alimenté par le secteur.
Caractéristiques du radiateur électrique :
Un radiateur électrique convertit intégralement le
travail électrique qu’il reçoit en transfert thermique $Q$ qu’il évacue dans la pièce. La tension d’alimentation est
$U = 230 V$ et la résistance $R = 25,0 \Omega$.
Caractéristiques de vitrage :
$$\begin{array} {|r|r|}\hline \text{ Vitrage de surface }S & \text{Résistance thermique } R_{th} (K \cdot W^{-1}) \\
\hline \text{Simple : 1 couche de verre } & 6 \cdot 10^{-4} \\ \hline \text{Double : 2 couches de verre et une
couche d’argon } & 0,10 \\ \hline \text{Triple : 3 couches de verre et 2 couches d’argon } & 0,16 \\ \hline
\end{array}$$
On souhaite effectuer un bilan d’énergie de la pièce pendant une durée de référence $\Delta t_{ref}$.
Le radiateur électrique qui chauffe la pièce ne fonctionne que pendant 10 % de la durée de référence. On obtient
une température $T_1 = 293 K$ constante en tout point de la pièce.
1. a. Quels modes de transferts thermiques peuvent être mis en jeu entre le radiateur électrique et la pièce ?
b. Exprimer le transfert thermique $Q$ fourni par le radiateur à la pièce pendant la durée de référence $\Delta t_{ref}$ en fonction de la tension d’alimentation $U$ du radiateur et de sa résistance $R$.
2. En déduire, en effectuant le bilan d’énergie du système {pièce et baie vitrée}, le flux thermique $\Phi$ traversant la baie vitrée et échangé avec le milieu extérieur.
3. Quel type de vitrage est utilisé pour cette baie ?
Il s’agit d’un simple vitrage. On stoppe le chauffage.
On considère que le système {pièce + baie vitrée}
effectue un transfert thermique par convection avec l’air extérieur et qu’il est incompressible, de capacité
thermique totale : $$C=m \cdot c=100 kJ \cdot K^{-1}$$
Avec $c$ la capacité thermique massique du système. La température initiale du système $T_1$ est 293 K.
1. Effectuer un bilan quantitatif d’énergie pour le système {pièce + baie vitrée} pendant une durée $\Delta t$ au cours de laquelle la variation de température du système est $\Delta T$. Retrouver la relation $C \cdot \Delta T = \Phi \cdot \Delta t$ où $\Phi$ est le flux thermique convectif échangé entre le système {pièce + baie vitrée} et l’air extérieur. $\Phi$ est considéré constant.
2. Établir l’équation différentielle vérifiée par la température $T$ du système.
3. Résoudre cette équation différentielle.
4. Déterminer la durée au bout de laquelle la température du système aura atteint la température limite de 289 K.
Données :
CORRECTION
1. a. Quels modes de transferts thermiques peuvent être mis en jeu entre le radiateur électrique et la pièce ?
Il existe trois modes de transferts thermiques :
b. Exprimer le transfert thermique $Q$ fourni par le radiateur à la pièce pendant la durée de référence $\Delta t_{ref}$ en fonction de la tension d’alimentation $U$ du radiateur et de sa résistance $R$.
Le flux du transfert thermique est une puissance thermique. Une puissance peut se définir de deux
façons : par une énergie sur une durée, ou par la tension et l’intensité du courant électrique (loi d’Ohm).
Donc : $$\Phi=\dfrac{Q}{\Delta t}=UI$$
On peut écrire l’expression en isolant le transfert thermique : $$Q=UI \Delta t$$
Le travail électrique reçu par le radiateur est entièrement converti en transfert thermique $Q$, on a donc :
$$Q = W_e$$
On obtient ainsi : $$W_e=UI \Delta t$$
L’intensité d’un courant électrique se défini en fonction de la résistance et de la tension : $$I=\dfrac{U}{R}$$
On peut le remplacer dans l’expression précédente et obtenir : $$W_e=\dfrac{U^2}{R} \Delta t$$
Or il nous est dit dans l’énoncé que le radiateur ne fonctionne que pendant 10% de la durée de référence, ainsi :
$$\Delta t=0,10 \Delta t_{ref}$$
L’expression du transfert thermique est donc : $$W_e=\dfrac{U^2}{R}0,10 \Delta t_{ref}$$
2. En déduire, en effectuant le bilan d’énergie du système {pièce et baie vitrée}, le flux thermique $\Phi$ traversant la baie vitrée et échangé avec le milieu extérieur.
Le système est supposé incompressible et au repos macroscopiquement.
Par convention, le flux est compté négativement s’il est cédé par le système, et positivement s’il est reçu par
le système. Notre système étudié est la pièce et la baie vitrée, qui cède la chaleur vers l’extérieur car le flux
est dirigé du plus chaud vers le plus froid, et la température $T_1$ de la pièce est supérieure à la température
$T_e$ de l’extérieur. Donc le flux sera compté négativement, c’est une perte de chaleur :
$$\Phi=-\dfrac{Q}{\Delta t_{ref}}=-\dfrac{U^2}{R} \cdot 0,10$$
Application numérique : $$\Phi=-\dfrac{230^2}{25,0} \cdot 0,10=-212 W$$
Pour déterminer quel vitrage est utilisé, on va calculer la résistance thermique à partir de la valeur du flux
thermique trouvée à la question précédente, pour ensuite la comparer aux valeurs données dans le tableau. Nous
allons utiliser l’expression suivante : $$R_{th}=\dfrac{T_e – T_1}{\Phi}$$
Application numérique : $$R_{th}=\dfrac{273-293}{-212}=0,09 K \cdot W^{-1}$$
En comparant cette valeur avec le tableau, on remarque que c’est très proche de $0,10 K \cdot W^{-1}$, ce qui
correspond au double vitrage.
Il s’agit d’un simple vitrage. On stoppe le chauffage.
On considère que le système {pièce + baie vitrée}
effectue un transfert thermique par convection avec l’air extérieur et qu’il est incompressible, de capacité
thermique totale : $$C=m \cdot c=100 kJ \cdot K^{-1}$$
Avec $c$ la capacité thermique massique du système. La température initiale du système $T_1$ est 293 K.
1. Effectuer un bilan quantitatif d’énergie pour le système {pièce + baie vitrée} pendant une durée $\Delta t$ au cours de laquelle la variation de température du système est $\Delta T$. Retrouver la relation $C \cdot \Delta T = \Phi \cdot \Delta t$ où $\Phi$ est le flux thermique convectif échangé entre le système {pièce + baie vitrée} et l’air extérieur. $\Phi$ est considéré constant.
Le système étudié est la pièce et la baie vitrée. Il est supposé incompressible et au repos macroscopiquement. Il est
soumis seulement à des transferts d’énergies mais pas de matière, ce qui signifie que le travail est nul. On peut
donc appliquer le premier principe de la thermodynamique tel que la variation d’énergie interne est $\Delta U = Q$
Or l’énergie interne peut également se définir en fonction de la capacité thermique du système est : $$\Delta U
= c \cdot m \cdot \Delta T = C \cdot \Delta T$$
En reliant avec l’affirmation ci-dessus on a : $$Q=C \cdot \Delta T$$
Le flux thermique est défini en fonction du transfert thermique par : $$\Phi=\dfrac{Q}{\Delta t}$$
Donc le transfert thermique peut s’écrire : $$Q = \Phi \cdot \Delta t$$
Ainsi on retrouve : $$ C \cdot \Delta T = \Phi \cdot \Delta t$$
Pour cela il faut appliquer la loi de Newton qui définit l’évolution temporelle du flux en fonction de $h$ le coefficient d’échange convectif (propre à chaque système), $S$ la surface d’échange du système et la différence de température entre le système $T$ et le milieu extérieur (thermostat) T_e : $$\Phi = hS(T_e-T)$$ Ainsi on obtient : $$hS(T_e-T)=\dfrac{C \Delta T}{\Delta t}$$ Donc : $$\dfrac{\Delta T}{\Delta t}=\dfrac{hS}{C}(T_e-T)$$ Or si $\Delta t$ tend vers 0, alors la limite de $\frac{\Delta T}{\Delta t}$ est égale à la dérivée de la température par rapport au temps : $$\dfrac{dT}{dt}=-\dfrac{hS}{C}T+\dfrac{hS}{C}T_e$$ Il s’agit d’une équation différentielle de premier ordre.
Pour $y’ = ay + b$ une équation différentielle de premier ordre, la solution est : $$y=K e^{ax}-\dfrac{b}{a}$$
Ici : $$a=-\dfrac{hS}{C}$$
$$b=\dfrac{hS}{C}T_e$$
Et la variable $y$ est la température $T$
Donc les solutions de l’équation différentielle sont de la forme : $$T(t)=K e^{-\frac{hS}{C}t}+T_e$$
Pour déterminer la constante $K$, il faut utiliser les conditions initiales de la température. A $t=0s$, la
température du système est la température initiale, donc : $$T(t=0) = T_1$$
Et : $$T_1=K e^{-\frac{hS}{C}0}+T_e$$
Or $e^0=1$, donc : $$K=T_1-T_e$$
Enfin, la solution de l’équation différentielle est : $$T(t)=(T_1-T_e)e^{-\frac{hS}{C}t}+T_e$$
4. Déterminer la durée au bout de laquelle la température du système aura atteint la température limite de 289 K.
D’après l’expression déterminée à la question précédente on peut isoler le temps :
$$T(t_f)=(T_1-T_e)e^{-\frac{hS}{C}t_f +T_e}$$
$$\dfrac{T_f-T_e}{T_1-T_e}=e^{-\frac{hS}{C}t_f}$$
On rappelle que : $ln(e^x)=x$
$$ln\left(\dfrac{ T_f-T_e}{ T_1-T_e}\right)=-\dfrac{hS}{C}t_f$$
Ainsi : $$t_f=-\dfrac{C}{hS} ln\left(\dfrac{ T_f-T_e}{ T_1-T_e}\right)$$
Application numérique : $$t_f=-\dfrac{100 \cdot 10^3}{10 \cdot 8,0} \cdot ln\left(\dfrac{ 289-273}{
293-273}\right)=2,8 \cdot 10^2 s$$
1 min = 60s, donc $2,8 \cdot 10^2 s$ correspond à un peu plus de 4min30s. Pour conclure, au bout d’environ 4
minutes, la chaleur de la pièce donnée par le chauffage sera perdue.
* Source : Educahoc, exercice 26.