Matières

ACCELERATEUR LINEAIRE LINAC2 DU CERN

Mots clés : mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme, accélérateur de particules chargées.

L’accélérateur linéaire « Linac2 » permet de communiquer une vitesse importante aux protons que les cher-cheurs utilisent ensuite dans les expériences menées au laboratoire européen pour la physique des particules (CERN) afin d’explorer la structure de la matière. Les protons, initialement au repos, atteignent l’énergie de 50 MeV à la sortie de l’accélérateur. Ils pénètrent alors dans le « Synchrotron injecteur », le maillon suivant de la suite d'accélérateurs du CERN, qui les porte à une énergie encore plus élevée.

Données :

• Charge du proton : $e = 1,6 \cdot 10^{-19} C$
• Masse du proton : $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} kg$
• Champ de pesanteur terrestre : $g = 9,81 m\cdot s^{-2}$
• $1 eV = 1, 6 \cdot 10^{-19} J$
• $1 MV = 10^6 V$

« Linac2 » est un accélérateur linéaire dans lequel les protons passent par une succession de zones modéli-sables par des condensateurs plans et où règne un champ électrique et de zones où ne règne aucun champ élec-trique. Dans une première partie, l’étude porte sur l’accélération initiale des protons par un condensateur plan, puis dans une seconde partie, sur le principe des accélérations successives des protons dans le « Linac2 ».

1. Accélération initiale des protons dans un premier condensateur plan

Un proton entre dans le condensateur plan avec une vitesse initiale nulle en O (figure 1). Une tension électrique positive $U = V_1 – V_2$ est appliquée entre les plaques du condensateur séparées d’une distance $d$. Le champ électrique $\vec{E}$ créé entre les plaques est supposé uniforme, dirigé dans le sens de l’axe $Ox$ et de norme $$E=\dfrac{U}{d}$$ Les plaques sont percées en O et S pour laisser passer les protons.

Caractéristiques du condensateur :

• Distance entre les plaques : $d = 10,0 cm$
• Tension électrique appliquée : $U = V_1 – V_2 = 2,00 MV$

Le mouvement du proton dans le condensateur est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

1.1. Représenter, sur le document de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, le vecteur champ électrique $\vec{E}$ au point M. Échelle : $1 cm$ représente $10 MV\cdot m^{-1}$.

1.2. Comparer la valeur du poids d’un proton avec celle de la force électrique à laquelle il est soumis à l’intérieur du condensateur. Conclure.

1.3. Déterminer l’expression du vecteur accélération du proton $\vec{a}$ en fonction de $m_P$, $e$, $\vec{E}$. En déduire la nature de son mouvement dans le condensateur.

1.4. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que la variation d’énergie cinétique du proton entre le point d’entrée O et le point de sortie S du condensateur est égale à : $$E_C(S)- E_C(O)= eU$$

1.5. En déduire l’expression de la vitesse $v_S$ du proton à la sortie du premier condensateur en S en fonction de $m_P$, $e$ et $U$. Déterminer sa valeur et commenter le résultat.

2. Principe du Linac2 – accélérateur linéaire

Dans une enceinte où règne un vide poussé, on fait passer les protons dans une série de tubes métalliques reliés alternativement à l’une ou à l’autre des bornes d'un générateur de tension alternative $U_a(t)$ (voir figure 2). Cette tension crée, dans les intervalles qui séparent les tubes, un champ électrique dans la direction de l’axe $Ox$.

Le champ électrique régnant dans les intervalles étant variable au cours du temps, la fréquence de la tension $U_a(t)$ et la longueur des tubes sont choisies très précisément pour que les protons arrivent dans chaque intervalle à l’instant où le sens du champ est tel qu’il permet leur accélération. On considère qu'à l'intérieur des tubes le champ électrique est nul et donc que les particules s'y déplacent à vitesse constante (figure 3).
L'énergie cinétique des protons augmentant au passage dans chaque intervalle, l’énergie cinétique atteinte à la sortie de l’accélérateur dépend, entre autres, du nombre de tubes.

L’un des intérêts d’un tel dispositif est qu’il suffit d’ajouter des tubes ou d’augmenter la valeur du champ électrique pour augmenter l’énergie cinétique finale des protons. Son principal inconvénient est son encombrement qui est, pour le Linac2, une longueur de 34 m.
Chaque intervalle se comporte comme le condensateur plan étudié dans la première partie (figure 1). Le générateur produit une tension sinusoïdale de période $T = 40 ns$. On donne la courbe de variation de la tension $U_a$ en fonction du temps (figure 4). Si $U_a(t)$ > 0, alors $V_A$ > $V_B$ et si $U_a(t)$ < 0 alors $V_A$ < $V_B$.

2.1. Indiquer le sens du champ électrique qui règne dans l’intervalle 1 et dans l’intervalle 2 entre les tubes à l’instant $t = \frac{T}{4}$ . Représenter, sans soucis d’échelle, le vecteur champ électrique $\vec{E}$ dans l’intervalle 1 et celui dans l’intervalle 2 sur le schéma de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.

2.2. Mêmes questions à la date $t = \frac{3T}{4}$

2.3. Pour être accélérés de manière optimale dans chaque intervalle, les protons doivent mettre une durée $\Delta t=\frac{T}{2}$ pour traverser chaque tube. Justifier cette affirmation.

2.4. Expliquer qualitativement pourquoi les tubes du Linac2 sont de plus en plus longs.

CORRECTION

1.1. Représenter, sur le document de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, le vecteur champ électrique $\vec{E}$ au point M. Échelle : $1 cm$ représente $10 MV\cdot m^{-1}$.

Échelle : $1 cm$ représente $10 MV \cdot m^{-1}.$
D’après les caractéristiques du condensateur :

• Distance entre les plaques : $d = 10,0 cm = 0,10 m$
• Tension électrique appliquée : $U = V_1 – V_2 = 2,00 MV = 2,00 \cdot 10^6 V$.

Lorsqu’on applique une tension électrique $U$ entre ces plaques parallèles, il apparaît un champ électrique $E$ uniforme caractérisé par :

• Sa direction : perpendiculaire aux plaques
• Son sens : dirigé dans le sens de l’axe $Ox$ (énoncé), la tension est positive donc $V_1 > V_2$, ainsi la plaque $V_1$ est la borne positive et la plaque $V_2$ la borne négative. Or le champ électrique est dirigé de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement, donc de $V_1$ à $V_2$
• Sa norme : dépend de la tension $U$ appliquée et de la distance entre les plaques : $E = \frac{U}{d}$
  
  Application numérique : $$E=\dfrac{2,00 \cdot 10^6}{0,1}=2,00 \cdot 10^7 v \cdot m^{-1}=20 MV \cdot m^{-1}$$ En respectant l’échelle, il mesure 2cm.

1.2. Comparer la valeur du poids d’un proton avec celle de la force électrique à laquelle il est soumis à l’intérieur du condensateur. Conclure.

Le poids d’un proton est défini par $\vec{P_p}=m_p \vec{g}$ avec la masse du proton :$ m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} kg$ et le champ de pesanteur terrestre : $g = 9,81 m \cdot s^{-2}$ (ou $N \cdot kg^{-1} $).

Application numérique : $$\vec{P_p}=1,67 \cdot 10^{-27} \cdot 9,81 = 1,64 \cdot 10{-26}N$$
La force électrique est $\vec{F_e}=q\vec{E}$.
Le proton a une charge positive $1,6 \cdot 10^{-19} C$.

Application numérique : $$\vec{F_e}=1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 2,00 \cdot 10^7 = 3,2 \cdot 10^{-12}N$$
Le poids du proton est très inférieur à la force électrique à laquelle il est soumis, On peut ainsi conclure que le poids sera négligé face à cette force et on considérera alors que la force électrique sera la seule force exercée.

1.3. Déterminer l’expression du vecteur accélération du proton $\vec{a}$ en fonction de $m_P$, $e$, $\vec{E}$. En déduire la nature de son mouvement dans le condensateur.

Le système de masse constante est considéré le référentiel terrestre supposé galiléen.

On peut donc appliquer la deuxième loi de Newton : $$\Sigma \vec{F}=m\vec{a}$$ Or ici la seule force exercée vient du champ électrique : $$\vec{F_e}=q\vec{E}$$ Avec $q$ la charge de la particule accélérée, ici le proton dont la charge est $e$.
On a : $$m_p \vec{a}=e \vec{E}$$ Donc : $$\vec{a}=\dfrac{e}{m_p}\vec{E}$$ Le champ électrique est uniforme dans le condensateur, et comme les charges des plaques restent les mêmes, ce vecteur est aussi constant au cours du temps. Ainsi on peut dire d’après l’expression de l’accélération que le vecteur accélération est lui aussi constant, et donc le mouvement est uniformément accéléré.

1.4. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que la variation d’énergie cinétique du proton entre le point d’entrée O et le point de sortie S du condensateur est égale à : $$E_C(S)- E_C(O)= eU$$

La variation de l’énergie mécanique peut se définir par la somme des travaux des forces (seulement celles considérées comme non-conservatives c’est-à-dire qui modifient l’énergie du système) : $$\Delta E_c=E_c(B)-E_c(A)=\Sigma W_{AB}(\vec{f}) $$ Nous avons dit à la question précédente que la seule force considérée est la force électrique. Or, on peut définir le travail d’une force électrique par : $$W_{OS}=\vec{F_e} \cdot \vec{OS} \cdot \cos{\widehat{(\vec{F_e},\vec{OS})}}$$ Or $\vec{F_e}$ et $\vec{OS}$ sont colinéaires, donc l’angle est nul, et $\cos{0} = 1$, ainsi : $$W_{OS}=F_e \cdot OS$$ On a vu que $F_e= eE$ et $OS$ correspond à la distance $d$ : $$W_{OS}=eEd$$ Avec : $$E=\dfrac{U_{OS}}{d}$$ Après simplification il en résulte : $$W_{OS}=e \cdot U_{OS}$$ Donc on a bien : $$E_c(S)-E_c(O)=eU_{OS}$$

1.5. En déduire l’expression de la vitesse $v_S$ du proton à la sortie du premier condensateur en S en fonction de $m_P$, $e$ et $U$. Déterminer sa valeur et commenter le résultat.

A la question précédente, on a déterminé que : $$E_c(S)-E_c(O)=eU_{OS}$$ L’énergie cinétique est définie par : $$E=\dfrac{1}{2}mv^2 $$ D’où : $$ E_c(S) =\dfrac{1}{2}mv_S^2 $$ Et : $$ E_c(O) =\dfrac{1}{2}mv_O^2 $$ Or il est dit dans l’énoncé que la vitesse du proton à l’état initial au point O est nulle, donc son énergie cinétique est nulle également.
On obtient : $$\dfrac{1}{2}mv_S^2 = eU_{OS}$$ On va pouvoir isoler la vitesse $v_S$ : $$v_S^2=\dfrac{2eU}{m_p}$$ Enfin : $$v_S=\sqrt{\dfrac{2eU}{m_p}}$$

2.1. Indiquer le sens du champ électrique qui règne dans l’intervalle 1 et dans l’intervalle 2 entre les tubes à l’instant $t = \frac{T}{4}$ . Représenter, sans soucis d’échelle, le vecteur champ électrique $\vec{E}$ dans l’intervalle 1 et celui dans l’intervalle 2 sur le schéma de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.

On nous donne la période $T = 40nm$, donc : $$t = 4 \cdot 40 = 10 ns$$ Sur le graphique de la figure 4, à $t = 10 ns$, la tension $U_a(10) = 2MV$. Elle est positive donc $V_A > V_B$, ce qui signifie que la plaque $V_A$ est la borne positive et la plaque $V_B$ la borne négative. Or le champ électrique est dirigé de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement, donc de $V_A$ à $V_B$. (voir annexe)

2.2. Mêmes questions à la date $t = \frac{3T}{4}$

On nous donne la période $T = 40nm$, donc : $$ t = \dfrac{3}{4} \cdot 40 = 30 ns$$ Sur le graphique de la figure 4, à $t = 30 ns$, la tension $ U_a(10) = - 2MV$. Comme elle est négative on a $V_A < V_B$, ce qui signifie que la plaque $V_A$ est la borne négative et la plaque $V_B$ la borne positive. Or le champ électrique est dirigé de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement, donc de $V_B$ à $V_A$. (voir annexe)

2.3. Pour être accélérés de manière optimale dans chaque intervalle, les protons doivent mettre une durée $\Delta t=\frac{T}{2}$ pour traverser chaque tube. Justifier cette affirmation.

L’énoncé dit que « la fréquence de la tension $U_a(t)$ et la longueur des tubes sont choisies très précisément pour que les protons arrivent dans chaque intervalle à l’instant où le sens du champ est tel qu’il permet leur accélération ».
D’après les deux questions précédentes, on a déterminé qu’à l’instant $\frac{T}{4}$ dans le premier intervalle le champ électrique est dans le sens pour une accélération optimale. Mais ce n’est pas le cas de l’intervalle 2. C’est à l’instant $\frac{3T}{4}$ que le champ électrique est dans le sens d’une accélération optimale dans le deuxième intervalle.
La différence entre ces deux instants est :$$ \Delta t = \frac{3T}{4}-\frac{T}{4}=\frac{2T}{4}=\frac{T}{2}$$ Entre ces intervalles les protons traversent les tubes à vitesse constante, ils doivent donc mettre cette durée pour arriver au moment où le champ sera dans le sens leur permettant une accélération optimale.

2.4. Expliquer qualitativement pourquoi les tubes du Linac2 sont de plus en plus longs.

Entre les tubes le proton est accéléré, ce qui signifie que dans le tube 2 il va plus vite que dans le tube 1 (même si dans le tube sa vitesse est constante). De même qu’il va plus vite dans le tube 3 que dans le tube 2, et ainsi de suite. Or, nous avons vu dans la question précédente que le proton doit toujours mettre 20 ns pour traverser les tubes. Pour mettre toujours le même temps à parcourir une distance alors que sa vitesse augmente, la dis-tance doit elle aussi augmenter, ainsi les tubes doivent être de plus en plus longs.

* Source : sujet 0 2021, exercice B.