DECOLLAGE DE LA FUSEE ARIANE
La propulsion de la fusée Ariane 5 est assurée par :
- Un étage principal cryotechnique (EPC) constitué du moteur Vulcain, de puissance transmise à la fusée de l’ordre de 10 MW en moyenne au cours des deux premières secondes du décollage
- Deux boosters (étages d’accélération à poudre EAP) qui contribuent à environ 90 % de la puissance to-tale transmise à la fusée au début du décollage.
Données :
- Intensité de la pesanteur : $g = 9,8 m \cdot s^{-2}$
- Débit massique d’éjection de gaz du moteur Vulcain : $270 kg \cdot s^{-1}$
- Débit massique d’éjection de gaz de chaque booster : $1,8 \cdot 103 kg \cdot s^{-1}$
- Caractéristiques des différentes fusées Ariane :
Pour faciliter les mesures, les différentes images de la fusée ont été décalées horizontalement les unes par rapport
aux autres.
L’étude de cette chronophotographie donne les résultats suivants. L’axe vertical a pour origine la base de la
fusée.
L’image 1 de la figure 2 précise l’endroit de la fusée qui sert à repérer son mouvement vertical. Son ordonnée sur l’axe des y est notée $y_1$.
1. Estimation de la poussée
1.1. Calculer la masse des gaz éjectés pendant la durée de l’étude, soit 2,40 s. La comparer à la masse au décollage de la fusée. Commenter.
On considère dans la suite de l’exercice que la masse totale de la fusée est constante pendant la durée de l’étude.
1.2. Estimer, à l’aide de la figure 2, la valeur de $y_5$. Détailler la démarche.
1.3. On donne en figure 4 le graphe représentant l’évolution de la vitesse de la fusée au cours du temps.
1.3.1. Estimer, à l’aide du tableau de la figure 3, la valeur de $v_2$. Détailler la démarche et vérifier que ce résultat est cohérent avec le graphe de la figure 4.
1.3.2. Montrer que la valeur de l’accélération de la fusée pendant la durée de l’étude est proche de $7 m \cdot s^{-2}$.
1.3.3. Préciser, en justifiant, la direction et le sens du vecteur accélération de la fusée.
1.4. Choisir parmi les propositions de la figure 5, le schéma compatible avec le décollage de la fusée. Justifier.
1.5. À partir des résultats précédents, estimer la valeur de la force de poussée. Vérifier la cohérence de ce résultat avec les données.
2. Estimation de la puissance totale développée par la fusée Ariane 5 au début du décollage
En utilisant les données sur la fusée Ariane 5 et le tableau de la figure 3, estimer la puissance moyenne fournie à la fusée par l’ensemble {moteur Vulcain + boosters} pendant les deux secondes de l’étude comprises entre 0,2 s et 2,2 s. Comparer cette valeur avec les données du texte d’introduction.
CORRECTION
1. Estimation de la poussée
1.1. Calculer la masse des gaz éjectés pendant la durée de l’étude, soit 2,40 s. La comparer à la masse au décollage de la fusée. Commenter.
La masse totale de gaz éjectés équivaut à la somme de gaz éjectés par le vulcain $D_m(v)$ et de gaz éjectés par les
deux boosters $D_m(B)$.
On a donc : $$D_m(tot)= D_m(v)+2 D_m(B)$$
Or la masse de gaz éjectés est : $$m_g=D_m(tot) \cdot \Delta t = (D_m(v)+2 D_m(B)) \Delta t $$
Dans l’énoncé il nous est donné : le débit massique d’éjection de gaz du moteur Vulcain : $270 kg \cdot s^{-1}$ et le
débit massique d’éjection de gaz de chaque booster : $1,8 \cdot 10^3 kg \cdot s^{-1}$
Application numérique : $$m_g=(270+2 \cdot 1,8 \cdot 10^3)\cdot 2,40 = 9288 kg = 9,3 t$$
On étudie la fusée Ariane 5 dont la masse moyenne au décollage est donnée dans le tableau de l’énoncé : m(décollage) =
765 t
$$\dfrac{9,2 \cdot 100}{765}=1,2%$$
Donc on peut dire que la fusée perd très peu de sa masse au décollage : cette perte de masse pourra être négligeable
dans la suite de l’exercice. De plus il est dit dans l’énoncé que la masse de la fusée est considérée comme constante.
1.2. Estimer, à l’aide de la figure 2, la valeur de $y_5$. Détailler la démarche.
On mesure à l’aide d’une règle la distance $y_1$ en cm et celle de $y_5$. Il suffit ensuite de faire un produit en croix.
\begin{array} {|r|r|}\hline \text{Mesure en cm} & \text{Valeur réelle en m} \\ \hline y_1=3,1 & y_1=30,1 \\ \hline v_5=4,2 & ? \\ \hline \end{array}
$$y_5=\dfrac{4,2 \cdot 30,1}{3,1}=40,8 m$$
1.3. On donne en figure 4 le graphe représentant l’évolution de la vitesse de la fusée au cours du temps.
1.3.1. Estimer, à l’aide du tableau de la figure 3, la valeur de $v_2$. Détailler la démarche et vérifier que ce résultat est cohérent avec le graphe de la figure 4.
Pour déterminer la vitesse de la fusée il faut utiliser la formule suivante : $$v_2=\dfrac{y_3-y_1}{t_3-t_1}$$
Application numérique : $$v_2=\dfrac{33,3-30,1}{1,00-0,20}=4 m \cdot s^{-1}$$ Ce résultat est bien cohérent avec le graphe de la figure 3, puisque graphiquement on trouve également $v_2=4 m \cdot s^{-1}$
1.3.2. Montrer que la valeur de l’accélération de la fusée pendant la durée de l’étude est proche de $7 m \cdot s^{-2}$.
L’accélération est le coefficient directeur de la droite représentant l’évolution de la vitesse. $$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v_6-v_2}{t_6-t_2} $$ Application numérique : $$a=\dfrac{15-4}{2,2-0,6}=6,9 m \cdot s^{-2} $$ C’est valeur est bien proche de $7 m \cdot s^{-2}$.
1.3.3. Préciser, en justifiant, la direction et le sens du vecteur accélération de la fusée.
La fusée décolle, c’est-à-dire qu’elle a un mouvement rectiligne vertical dirigé vers le haut. De plus, on vient de calculer une accélération dont le résultat est positif, cela signifie que le vecteur vitesse est dans le même sens que le vecteur accélération, or le vecteur vitesse est dans le sens du mouvement alors le vecteur accélération est lui aussi dans le sens du mouvement. On en conclue donc que le vecteur accélération est vertical ascendant.
1.4. Choisir parmi les propositions de la figure 5, le schéma compatible avec le décollage de la fusée. Justifier.
Pour permettre le décollage, le poids doit être dirigé vers le bas et la poussée vers le haut. On peut donc éliminer
le schéma 2.
Il faut également que la poussée soit supérieure au poids, ce qui se traduit par le fait que la norme du vecteur
de poussée soit supérieure à celle du poids. On peut donc éliminer le schéma 3.
C’est donc le schéma 1 qui est correct.
1.5. À partir des résultats précédents, estimer la valeur de la force de poussée. Vérifier la cohérence de ce résultat avec les données.
Ici il faut utiliser la deuxième loi de Newton : $\Sigma \vec{F}=m \vec{a}$ où l’on va pouvoir isoler $F$, la valeur de la force de poussée. La somme des forces dans ce cas est la force de poussée moins le poids $$\Sigma F=F-P$$ Il y a bien deux forces qui interviennent ici.
ATTENTION !
Le poids est dirigé dans le sens opposé à l’axe y, il est donc négatif.
On a : $$ F -P = m_{fusée} a$$
On peut isoler $F$ : $$ F = m_{fusée} a + P$$
Or : $$P = m_{fusée}g$$
Donc : $$F = m_{fusée} (a+g)$$
Nous avons toutes ces valeurs dans les données :
$a = 7m\cdot s^{-1}$, $m_{fusée} = 750 t = 750 000 kg$ et l’intensité de pesanteur $g = 9,8 m \cdot s^{-2}$.
Application numérique : $$F = 750 000 \cdot (7 + 9,8) = 12 600 000 N = 12 600 kN$$
Ce résultat est cohérent avec l’énoncé qui donne une poussée comprise entre 12 000 et 13 000 kN (tableau des données).
2. Estimation de la puissance totale développée par la fusée Ariane 5 au début du décollage
En utilisant les données sur la fusée Ariane 5 et le tableau de la figure 3, estimer la puissance moyenne fournie à la fusée par l’ensemble {moteur Vulcain + boosters} pendant les deux secondes de l’étude comprises entre 0,2 s et 2,2 s. Comparer cette valeur avec les données du texte d’introduction.
On est dans un cas particulier, où l’énergie mécanique ne se converse pas, elle augmente. Elle est la résultante de
la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie de pesanteur et ici les deux augmentent.
La vitesse de la fusée augmente, donc l’énergie cinétique augmente.
Au cours du décollage, la fusée augmente aussi en altitude, donc l’énergie de pesanteur augmente elle aussi.
Conclusion : on ne peut pas utiliser la conservation de l’énergie mécanique !
On va donc utiliser une méthode qui utilise le travail de la force de poussée.
Un travail est déterminé par : $$W_{AB}=\vec{F} \cdot \vec{AB}=F \cdot AB \cdot
\cos{\widehat{(\vec{F_e},\vec{AB})}}$$
Le travail de la force de poussée est $W_y=\vec{F} \cdot \vec{v} \cdot \cos{\alpha} $ avec $\alpha$ l’angle entre le
vecteur de la force de poussée et le vecteur vitesse. Comme ils sont colinéaires, l’angle $\alpha$ est nul, et $\cos
(\alpha) = 1$.
Ainsi on a : $$ W_y=\vec{F} \cdot \vec{v}$$
On a déterminé les valeurs de la force de poussée la question précédente : $F = 12 600 kN$ Et la valeur $v$ du vecteur
déplacement est la différence d’altitude entre 0,20s et 2,20s (énoncé) : $$v=y_6-y_1=46,5 – 30,1 = 16,4 m $$
Donc $W = 12 600 000 \cdot 16,4 = 206 \cdot 10^6 J$ : le travail est environ égal à 200 MJ.
Maintenant on peut calculer la puissance puisque : $$P=\dfrac{W}{\Delta t}$$
Avec $\Delta t=2s$
$$P=\dfrac{200 \cdot 10^6}{2}=100 \cdot 10^6 W$$
Donc la puissance totale est de l’ordre de 100 MW.
Dans l’énoncé il est dit que la puissance du moteur transmise à la fusée au cours des deux premières secondes du
décollage est de l’ordre de 10 MW. Or elle ne représente que 10% de la puissance totale car les deux boosters
contribuent à 90% de cette puissance totale. Dons la puissance totale est bien de l’ordre de 100 MW.
* Source : session 2019 métropole, exercice II.